Chủ đề này có 1 trả lời

[cristianoronaldo]

Kỉ niệm ngày quay trở lại diễn đàn mình đăng một bài toán mà đã chế ra trong lúc thi ITOT

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b\sqrt{(2a+b)(3a+b)}}+\frac{b}{c\sqrt{(2b+c)(3b+c)}}+\frac{c}{a\sqrt{(2c+a)(3c+a)}}\geq \frac{3}{2\sqrt{ab+bc+ca}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 20-11-2016 - 22:31

[Baoriven]

Ta có: 

$\sum_{cyc}\frac{a}{b\sqrt{(2a+b)(3a+b)}}=\sum_{cyc}\frac{4\sqrt3a}{2b\sqrt{4(2a+b)\cdot3(3a+b)}}\geq$

$\geq\sum_{cyc}\frac{4\sqrt3a}{b(4(2a+b)+3(3a+b))}=\frac{4\sqrt3}{abc}\sum_{cyc}\frac{a^2c}{17a+7b}=\frac{4\sqrt3}{abc}\sum_{cyc}\frac{a^2c^2}{17ac+7bc}\geq$

$\geq\frac{4\sqrt3(ab+ac+bc)^2}{24(ab+ac+bc)abc}=\frac{ab+ac+bc}{2\sqrt3{abc}}\geq\frac{3}{2\sqrt{ab+ac+bc}}.$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.