Cho hai điểm $A,B$ cùng nằm ở bên ngoài elip $(E)$. Xác định vị trí điểm $M \in (E)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất
Xác định vị trí điểm $M \in (E)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất
#1
Đã gửi 21-11-2016 - 20:07
- Element hero Neos yêu thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#2
Đã gửi 21-11-2016 - 20:49
Tóm tắt/Suy đoán:
Nếu đường thẳng $AB$ cắt $(E)$: $M$ sẽ là một trong hai giao điểm (hoặc có thể là cả hai, tùy vị trí tương đối của $A,B$ với $(E)$).
Nếu đường thẳng $AB$ không cắt $(E)$:
Bằng đại số, ta có thể chứng minh tồn tại hai đường thẳng $d_1,d_2$ song song với $AB$ và tiếp xúc với $(E)$ tại $M_1, M_2$. Một trong hai điểm này sẽ biến $S=MA+MB$ nhỏ nhất, trong khi điểm còn lại khiến $S$ lớn nhất.
- E. Galois và Element hero Neos thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 23-11-2016 - 12:03
Cho hai điểm $A,B$ cùng nằm ở bên ngoài elip $(E)$. Xác định vị trí điểm $M \in (E)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất
Tóm tắt/Suy đoán:
Nếu đường thẳng $AB$ cắt $(E)$: $M$ sẽ là một trong hai giao điểm (hoặc có thể là cả hai, tùy vị trí tương đối của $A,B$ với $(E)$).
Nếu đường thẳng $AB$ không cắt $(E)$:
Bằng đại số, ta có thể chứng minh tồn tại hai đường thẳng $d_1,d_2$ song song với $AB$ và tiếp xúc với $(E)$ tại $M_1, M_2$. Một trong hai điểm này sẽ biến $S=MA+MB$ nhỏ nhất, trong khi điểm còn lại khiến $S$ lớn nhất.
Xét $3$ trường hợp :
a) Đoạn thẳng $AB$ và $(E)$ có 2 điểm chung là $C$ và $D$ : Các điểm $M$ cần tìm chính là cả 2 điểm $C$ và $D$.
b) Đoạn thẳng $AB$ và $(E)$ có đúng 1 điểm chung là $C$ : Điểm $M$ cần tìm chính là điểm $C$.
c) Đoạn thẳng $AB$ và $(E)$ không có điểm chung :
Gọi $(E')$ là ellipse nhận $A$ và $B$ là các tiêu điểm và tiếp xúc ngoài với $(E)$
Gọi tiếp điểm đó là $P$
Gọi bán trục lớn của $(E')$ là $a$.
Ta có : $P\in (E')\Rightarrow PA+PB=2a$ (1)
Với mọi điểm $Q\in (E)$ ($Q\not\equiv P$), vì $Q$ nằm ngoài $(E')$ nên $QA+QB> 2a$ (2)
(1),(2) $\Rightarrow$ điểm $M$ cần tìm chính là tiếp điểm $P$
Bạn perfectstrong cho rằng nếu đường thẳng $AB$ cắt $(E)$ thì điểm $M$ cần tìm sẽ là 1 trong 2 giao điểm (hoặc cả hai).Điều đó không đúng nếu đoạn thẳng $AB$ không có điểm chung với $(E)$.
Thực vậy, giả sử đường thẳng $AB$ cắt $(E)$ tại $C$ và $D$ ($C$ ở giữa $A$ và $D$) nhưng đoạn thẳng $AB$ và $(E)$ không có điểm chung.Gọi tiếp tuyến của $(E)$ tại $C$ là $t$.
Rõ ràng $D$ không phải là điểm $M$ cần tìm vì $DA+DB> CA+CB$.
Giả sử $C$ chính là điểm $M$ cần tìm, vậy $C$ phải trùng với tiếp điểm $P$ nói trên.Nói cách khác $C$ là tiếp điểm của $(E)$ và $(E') \Rightarrow$ tiếp tuyến của $(E')$ tại $C$ phải trùng với tiếp tuyến của $(E)$ tại $C$, tức là phải trùng với $t$.
Mặt khác, $C$ thuộc đường thẳng $AB$ và $C\in (E')\Rightarrow C$ là đỉnh thuộc trục lớn của $(E') \Rightarrow$ tiếp tuyến của $(E')$ tại $C$ phải vuông góc với $AB$.
Suy ra $t$ luôn luôn phải vuông góc với $AB$.Điều này là vô lý vì có vô số ellipse (có phương của trục lớn khác nhau) tiếp xúc ngoài với $(E)$ tại $C$.Vậy $C$ cũng không phải là điểm $M$ cần tìm.
Bạn perfectstrong cũng cho rằng nếu đường thẳng $AB$ không cắt $(E)$ thì tồn tại 2 đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song với $AB$ và tiếp xúc với $(E)$ tại $M_1$ và $M_2$.Giả sử $d_1$ gần $AB$ hơn $d_2$.Khi đó bạn ấy cho rằng $M_1$ chính là điểm $M$ cần tìm.
Giả sử điểm $M$ cần tìm chính là $M_1$ $\Rightarrow d_1$ là tiếp tuyến của $(E)$ tại $M$ $\Rightarrow d_1$ là tiếp tuyến của $(E')$ tại $M$.
Mà $d_1//AB\Rightarrow$ tiếp điểm $M$ luôn luôn trùng với đỉnh trên trục nhỏ của $(E')$.Điều này là vô lý vì có vô số ellipse (có phương của trục lớn khác nhau) tiếp xúc với $(E)$ tại $M$.
Vậy $M$ không phải bao giờ cũng trùng với $M_1$ (điều này chỉ xảy ra khi tiếp điểm giữa $(E)$ và $(E')$ trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ của $(E')$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-11-2016 - 20:14
- E. Galois và perfectstrong thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh