Đến nội dung

Hình ảnh

Xác định vị trí điểm $M \in (E)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Cho hai điểm $A,B$ cùng nằm ở bên ngoài elip $(E)$. Xác định vị trí điểm $M \in (E)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Tóm tắt/Suy đoán: :D

Nếu đường thẳng $AB$ cắt $(E)$: $M$ sẽ là một trong hai giao điểm (hoặc có thể là cả hai, tùy vị trí tương đối của $A,B$ với $(E)$).

Nếu đường thẳng $AB$ không cắt $(E)$:

Bằng đại số, ta có thể chứng minh tồn tại hai đường thẳng $d_1,d_2$ song song với $AB$ và tiếp xúc với $(E)$ tại $M_1, M_2$. Một trong hai điểm này sẽ biến $S=MA+MB$ nhỏ nhất, trong khi điểm còn lại khiến $S$ lớn nhất.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho hai điểm $A,B$ cùng nằm ở bên ngoài elip $(E)$. Xác định vị trí điểm $M \in (E)$ sao cho $MA+MB $ nhỏ nhất

 

Tóm tắt/Suy đoán: :D

Nếu đường thẳng $AB$ cắt $(E)$: $M$ sẽ là một trong hai giao điểm (hoặc có thể là cả hai, tùy vị trí tương đối của $A,B$ với $(E)$).

Nếu đường thẳng $AB$ không cắt $(E)$:

Bằng đại số, ta có thể chứng minh tồn tại hai đường thẳng $d_1,d_2$ song song với $AB$ và tiếp xúc với $(E)$ tại $M_1, M_2$. Một trong hai điểm này sẽ biến $S=MA+MB$ nhỏ nhất, trong khi điểm còn lại khiến $S$ lớn nhất.

Xét $3$ trường hợp :

a) Đoạn thẳng $AB$ và $(E)$ có 2 điểm chung là $C$ và $D$ : Các điểm $M$ cần tìm chính là cả 2 điểm $C$ và $D$.

b) Đoạn thẳng $AB$ và $(E)$ có đúng 1 điểm chung là $C$ : Điểm $M$ cần tìm chính là điểm $C$.

c) Đoạn thẳng $AB$ và $(E)$ không có điểm chung : 

    Gọi $(E')$ là ellipse nhận $A$ và $B$ là các tiêu điểm và tiếp xúc ngoài với $(E)$

    Gọi tiếp điểm đó là $P$

    Gọi bán trục lớn của $(E')$ là $a$.

    Ta có : $P\in (E')\Rightarrow PA+PB=2a$ (1)

    Với mọi điểm $Q\in (E)$ ($Q\not\equiv P$), vì $Q$ nằm ngoài $(E')$ nên $QA+QB> 2a$ (2)

    (1),(2) $\Rightarrow$ điểm $M$ cần tìm chính là tiếp điểm $P$ 

 

    Bạn perfectstrong cho rằng nếu đường thẳng $AB$ cắt $(E)$ thì điểm $M$ cần tìm sẽ là 1 trong 2 giao điểm (hoặc cả hai).Điều đó không đúng nếu đoạn thẳng $AB$ không có điểm chung với $(E)$.

Thực vậy, giả sử đường thẳng $AB$ cắt $(E)$ tại $C$ và $D$ ($C$ ở giữa $A$ và $D$) nhưng đoạn thẳng $AB$ và $(E)$ không có điểm chung.Gọi tiếp tuyến của $(E)$ tại $C$ là $t$.

Rõ ràng $D$ không phải là điểm $M$ cần tìm vì $DA+DB> CA+CB$.

Giả sử $C$ chính là điểm $M$ cần tìm, vậy $C$ phải trùng với tiếp điểm $P$ nói trên.Nói cách khác $C$ là tiếp điểm của $(E)$ và $(E') \Rightarrow$ tiếp tuyến của $(E')$ tại $C$ phải trùng với tiếp tuyến của $(E)$ tại $C$, tức là phải trùng với $t$.

Mặt khác, $C$ thuộc đường thẳng $AB$ và $C\in (E')\Rightarrow C$ là đỉnh thuộc trục lớn của $(E') \Rightarrow$ tiếp tuyến của $(E')$ tại $C$ phải vuông góc với $AB$.

Suy ra $t$ luôn luôn phải vuông góc với $AB$.Điều này là vô lý vì có vô số ellipse (có phương của trục lớn khác nhau) tiếp xúc ngoài với $(E)$ tại $C$.Vậy $C$ cũng không phải là điểm $M$ cần tìm.

 

Bạn perfectstrong cũng cho rằng nếu đường thẳng $AB$ không cắt $(E)$ thì tồn tại 2 đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song với $AB$ và tiếp xúc với $(E)$ tại $M_1$ và $M_2$.Giả sử $d_1$ gần $AB$ hơn $d_2$.Khi đó bạn ấy cho rằng $M_1$ chính là điểm $M$ cần tìm.

Giả sử điểm $M$ cần tìm chính là $M_1$ $\Rightarrow d_1$ là tiếp tuyến của $(E)$ tại $M$ $\Rightarrow d_1$ là tiếp tuyến của $(E')$ tại $M$.

Mà $d_1//AB\Rightarrow$ tiếp điểm $M$ luôn luôn trùng với đỉnh trên trục nhỏ của $(E')$.Điều này là vô lý vì có vô số ellipse (có phương của trục lớn khác nhau) tiếp xúc với $(E)$ tại $M$.

Vậy $M$ không phải bao giờ cũng trùng với $M_1$ (điều này chỉ xảy ra khi tiếp điểm giữa $(E)$ và $(E')$ trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ của $(E')$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-11-2016 - 20:14

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh