Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Đã gửi 22-11-2016 - 17:11

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp. Đường AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. E là điểm trên cung BDC, F là điểm trên cạnh BC sao cho góc $\angle BAF=\angle CAE < \frac{1}{2}\angle A$ . EI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại S. Chứng minh SD đi qua trung điểm của FI.

 

(Đề chọn đội tuyển ngày 19.11.2016 - Bình Định)



#2 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 22-11-2016 - 20:16

Bài này là mở rộng của IMO 2010.
Gọi $SD$ giao $BC$ tại $K$.
Dễ có $DB^2=DC^2=DI^2=DK.DS$ nên $\Delta{DIK}$~$\Delta{DSI}$
Từ đó có $\widehat{DIK}=\widehat{DSI}=\widehat{DAF}$ hay $AF//IK$.
Gọi $AD$ cắt $BC$ tại $H$.
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác $IFH$ và định lý Thales ta phải chứng minh
$\frac{AI}{IH} =\frac{DI}{DH}=\frac{DC}{DH}$
Áp dụng định lý sin vào tam giác $AIC$, $IHC$ và $DHC$ ta có
$\frac{AI}{IH}=\frac{AI}{IC}.\frac{IC}{IH}= \frac{\sin IHC}{\sin IAC}=\frac{\sin DHC}{\sin DCH}=\frac{DC}{DH}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 22-11-2016 - 20:17


#3 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Đã gửi 22-11-2016 - 20:35

Bác Kamii0909 đã đến chỗ $\frac{AI}{IH}=\frac{DC}{DH}$ thì chỉ cần tam giác DCH và DAC đồng dạng nữa là OK, không cần định lý sin.



#4 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 22-11-2016 - 20:42

Bác Kamii0909 đã đến chỗ $\frac{AI}{IH}=\frac{DC}{DH}$ thì chỉ cần tam giác DCH và DAC đồng dạng nữa là OK, không cần định lý sin.

Em đã thử và nó ko ra bác ạ.

#5 quantv2006

quantv2006

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết

Đã gửi 22-11-2016 - 20:53

Em đã thử và nó ko ra bác ạ.

Tam giác DCA và DHC đồng dạng nên $\frac{DC}{DH}=\frac{CA}{HC}$. Tam giác ACH có CI là phân giác trong góc C nên $\frac{CA}{HC}=\frac{AI}{IH}$. Vậy $\frac{DC}{DH}=\frac{CA}{HC}=\frac{AI}{IH}$



#6 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 22-11-2016 - 21:15

Tam giác DCA và DHC đồng dạng nên $\frac{DC}{DH}=\frac{CA}{HC}$. Tam giác ACH có CI là phân giác trong góc C nên $\frac{CA}{HC}=\frac{AI}{IH}$. Vậy $\frac{DC}{DH}=\frac{CA}{HC}=\frac{AI}{IH}$

Tks bác. Lần đầu e thấy cách thế này. Tại có 1 đẳng thức gần giống thế làm bằng định lý sin nên e bắt chước.

#7 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 22-11-2016 - 21:16

Nguyên gốc như sau.
$\frac{AI}{AD}=\frac{IH}{ID}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 23-11-2016 - 12:30





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh