Chủ đề này có 3 trả lời

[terence]

Cho $n\epsilon N, n> 6$. Gọi $S_{n}$ là tập hợp các số tự nhiên k $(\frac{n}{2}\leq k < n)$

Tìm n để trong $S_{n}$ không có số chính phương nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi terence: 22-11-2016 - 20:45

[Kamii0909]

Bổ đề:Cho 2 số nguyên dương $a>b$
Nếu $\sqrt{a}-\sqrt{b} \geq 1$ thì $[a,b)$ có ít nhất 1 số chính phương.
*Lưu ý:Điều ngược lại là sai. Ví dụ $a=8,b=10$.
Như vậy ta phải có
$\sqrt{n}-\sqrt{\frac{n}{2}} <1$
Bằng biến đổi tương đương ta nhận được
$\sqrt{n} < \sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$
Hay $n \leq 11$.
Thử trực tiếp có $n=9$ thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 23-11-2016 - 14:31

[Kagome]

Bổ đề:Cho 2 số nguyên dương $a>b$
Nếu $\sqrt{a}-\sqrt{b} \geq 1$ thì $[a,b)$ có ít nhất 1 số chính phương.
*Lưu ý:Điều ngược lại là sai. Ví dụ $a=8,b=10$.
Như vậy ta phải có
$\sqrt{n}-\sqrt{\frac{n}{2}} <1$
Bằng biến đổi tương đương ta nhận được
$\sqrt{n} < \sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$
Hay $n \leq 11$.
Thử trực tiếp có $n=9$ thỏa mãn.

Vậy cái bổ đề cm sao vậy anh?

[Kamii0909]

Bổ đề là tất nhiên thôi. $\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq 1 $ nên giữa $\sqrt{a}$ và $\sqrt{b}$ phải có 1 số nguyên nên ta có đpcm.