Chủ đề này có 2 trả lời

[quanguefa]

Tìm f: R->R thỏa:

$x^{2}f(x)+f(1-x)=2x-x^{4}$

[NTMFlashNo1]

Tìm f: R->R thỏa:

$x^{2}f(x)+f(1-x)=2x-x^{4}$

Ta có đc PT khi thay $x$ thành $x-1$ sau:

 

$\left ( x^{2}-x-1 \right )f\left ( x \right )=\left ( 1-x^{2} \right )\left ( x^{2}-x-1 \right )$

Gọi $a,b$ là nghiệm của $PT$ $x^{2}-x-1=0$

Như vậy với $x\neq a,b$ ta có:

$f(x)=1-x^{2}$

Ta xác định $f(a),f(b)$

Theo định lý $Viet$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a+b &=1 \\ ab &=-1 \end{matrix}\right.$

Thay $x=a,x=b$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a^{2}f\left ( a \right )+f\left ( b \right ) &=2a-a^{4} \\ b^{2}f\left ( b \right )+f\left ( a \right ) &=2b-b^{4} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( a+1 \right )f\left ( a \right )+f\left ( b \right ) &=-a^{2}-1 \\ \left ( b+1 \right )f\left ( b \right )+f\left ( a \right ) &=-b^{2}-1 \end{matrix}\right.$

Rút gọn đc 

$0f(b)=0$

$\Rightarrow f(b)=c,f(a)=2b-b^{4}-b^{2}c$ với $c$ tùy ý

Kết luận nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 12-02-2017 - 21:44

[Mr Cooper]

Thay $x \rightarrow 1-x$ Đưa về hệ giải ra $f(x)$