Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR $ab^2 + bc^2 +ca^2\leq a^2+b^2+c^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Thanh Nam 11

Thanh Nam 11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Đã gửi 25-11-2016 - 16:53

cho $a+b+c=3$

CMR:  $ab^2 + bc^2 +ca^2\leq a^2+b^2+c^2$



#2 yagami wolf

yagami wolf

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đã gửi 25-11-2016 - 17:18

trước hết ta có bổ đề quen thuộc sau :

$ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$ (cái này khỏi cm nhá , quá quen thuộc rồi)

do đó ta cần cm: $\sum a^2+abc\geq 4$

giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow \sum a^2+abc\geq a^2+b^2+c(c+a+b)-c\geq 2ab+2c\geq 2(a+b+c)-2=4$

ok



#3 Thanh Nam 11

Thanh Nam 11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Đã gửi 25-11-2016 - 17:44

có cách đẹp hơn không nhỉ?



#4 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 25-11-2016 - 19:26

có cách đẹp hơn không nhỉ?

Áp dụng AM-GM ta có

$\left\{\begin{matrix} a^3+a^2c+ac^2\geq3a^2c\\ b^3+b^2a+ba^2\geq3b^2a\\ c^3+c^2b+cb^2\geq3c^2b \end{matrix}\right.$

Cộng lại ta được

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq3(ab^2+bc^2+ca^2)$

Mà 

$a+b+c=3$

Do đó ta có đpcm.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh