cho $a+b+c=3$
CMR: $ab^2 + bc^2 +ca^2\leq a^2+b^2+c^2$
cho $a+b+c=3$
CMR: $ab^2 + bc^2 +ca^2\leq a^2+b^2+c^2$
trước hết ta có bổ đề quen thuộc sau :
$ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$ (cái này khỏi cm nhá , quá quen thuộc rồi)
do đó ta cần cm: $\sum a^2+abc\geq 4$
giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow \sum a^2+abc\geq a^2+b^2+c(c+a+b)-c\geq 2ab+2c\geq 2(a+b+c)-2=4$
ok
có cách đẹp hơn không nhỉ?
có cách đẹp hơn không nhỉ?
Áp dụng AM-GM ta có
$\left\{\begin{matrix} a^3+a^2c+ac^2\geq3a^2c\\ b^3+b^2a+ba^2\geq3b^2a\\ c^3+c^2b+cb^2\geq3c^2b \end{matrix}\right.$
Cộng lại ta được
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq3(ab^2+bc^2+ca^2)$
Mà
$a+b+c=3$
Do đó ta có đpcm.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh