Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $ab^2 + bc^2 +ca^2\leq a^2+b^2+c^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Thanh Nam 11

Thanh Nam 11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

cho $a+b+c=3$

CMR:  $ab^2 + bc^2 +ca^2\leq a^2+b^2+c^2$



#2
yagami wolf

yagami wolf

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

trước hết ta có bổ đề quen thuộc sau :

$ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$ (cái này khỏi cm nhá , quá quen thuộc rồi)

do đó ta cần cm: $\sum a^2+abc\geq 4$

giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Rightarrow \sum a^2+abc\geq a^2+b^2+c(c+a+b)-c\geq 2ab+2c\geq 2(a+b+c)-2=4$

ok



#3
Thanh Nam 11

Thanh Nam 11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

có cách đẹp hơn không nhỉ?



#4
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

có cách đẹp hơn không nhỉ?

Áp dụng AM-GM ta có

$\left\{\begin{matrix} a^3+a^2c+ac^2\geq3a^2c\\ b^3+b^2a+ba^2\geq3b^2a\\ c^3+c^2b+cb^2\geq3c^2b \end{matrix}\right.$

Cộng lại ta được

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq3(ab^2+bc^2+ca^2)$

Mà 

$a+b+c=3$

Do đó ta có đpcm.






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh