Chủ đề này có 1 trả lời

[duyanh782014]

Giả sử 2 phương trình $a_{1}x^{5}+b_{1}x^{2}=c_{1}, a_{2}x^{5}+b_{2}x^{2}=c_{2}$$\left ( a_{1},a_{2}\neq 0 \right )$ có nghiệm chung. Chứng minh rằng $\left ( c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1} \right )^{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{3}=(a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})^{5}$

[Jinbei]

Giả sử 2 phương trình $a_{1}x^{5}+b_{1}x^{2}=c_{1}, a_{2}x^{5}+b_{2}x^{2}=c_{2}$$\left ( a_{1},a_{2}\neq 0 \right )$ có nghiệm chung. Chứng minh rằng $\left ( c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1} \right )^{2}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{3}=(a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1})^{5}$

 

Gọi $y$ là nghiệm chung của 2 phương trình. Ta có : $\left\{\begin{matrix} a_{1}y^{5}+b_{1}y^{2}=c_{1} (1)\\ a_{2}y^{5}+b_{2}y^{2}=c_{2} (2) \end{matrix}\right.$

Nhân lần lượt $c_{1};c_{2}$ vào 2 phương trình $(2);(1)$ : 

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}c_{2}y^{5}+b_{1}c_{2}y^{2}=c_{2}c_{1} \\a_{2}c_{1}y^{5}+b_{2}c_{1}y^{2}=c_{1}c_{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow y^{5}(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})+y^{2}(b_{1}c_{2}‒b_{2}c_{1})=0$

$\Rightarrow \frac{b_{1}c_{2}‒b_{2}c_{1}}{a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1}}=‒y^{3}\Rightarrow y^{6}=\frac{(b_{1}c_{2}‒b_{2}c_{1})^{2}}{(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})^{2}}$

Tương tự : Nhân lần lượt $a_{2};a_{1}$ vào 2 phương trình $(1);(2)$, ta có :$y^{6}=\frac{(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})^{3}}{(a_{1}b_{2}‒a_{2}b_{1})^{3}}$

Do đó : $\frac{(c_{1}b_{2}‒c_{2}b_{1})^{2}}{(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})^{2}}=\frac{(a_{1}c_{2}‒a_{2}c_{1})^{3}}{(a_{1}b_{2}‒a_{2}b_{1})^{3}}\left ( =y^{6} \right ) \Rightarrow (đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbei: 04-12-2016 - 23:00