Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Cho a,b,c>0;a+b+c=1

C/m:$\frac{13}{4}\left ( ab+bc+ca \right )\leq 1+4abc\left ( \sum \frac{a}{\left ( a+1 \right )^{2}} \right )$

[quanguefa]

Cho a,b,c>0;a+b+c=1

C/m:$\frac{13}{4}\left ( ab+bc+ca \right )\leq 1+4abc\left ( \sum \frac{a}{\left ( a+1 \right )^{2}} \right )$

Ta có: $\sum \frac{a}{(a+1)^2}=\sum \frac{a^2}{a^3+2a^2+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^3+2\sum a^2+\sum a}=\frac{1}{\sum a^3+2\sum a^2+1}$

Đăt p, q, r với p=1. Quy về chứng minh: $\frac{4r}{3r-7q+4}+1\geq \frac{13}{4}q\Leftrightarrow r(28-39q)+91q^2-80q+16\geq 0$

Dễ có: $0<q\leq \frac{1}{3}$

Theo Schur bậc 1: $r\geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}$

Có: $\frac{4q-1}{9}.(28-39q)+91q^2-80q+16\geq 0\Leftrightarrow (3q-1)(221q-116)\geq 0$ 

BĐT cuối đúng suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 28-11-2016 - 21:00