Cho $x, y, z > 0 \in \mathbb{R}$ thỏa $xy+yz+zx=1.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}.$
Cho $x, y, z > 0 \in \mathbb{R}$ thỏa $xy+yz+zx=1.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}.$
Cho $x, y, z > 0 \in \mathbb{R}$ thỏa $xy+yz+zx=1.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}.$
Đề sai rồi nha bạn <= 9/4 mới đúng
Đề chuẩn luôn đó nha bạn...
Thế để mình chứng minh Mình sẽ chứng minh theo kiểu <=9/4 nha và bạn sẽ thấy nó đúng
$\sum \frac{1}{1+x^{2}}\leq \frac{9}{4} <=> \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{4}$
Cauchy swarch Và dễ chứng minh được điều này nha
$\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$
Vậy VT<=9/4<1+3căn3/4
Thế để mình chứng minh Mình sẽ chứng minh theo kiểu <=9/4 nha và bạn sẽ thấy nó đúng
$\sum \frac{1}{1+x^{2}}\leq \frac{9}{4} <=> \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{4}$
Cauchy swarch Và dễ chứng minh được điều này nha
$\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$
Vậy VT<=9/4<1+3căn3/4
cách của bạn ngược dấu mất rồi
Lời giải:
Ta có $LHS=\frac{1}{x+y}\left ( \frac{x+y+2z}{z^{2}+1} \right )+\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z^{2}+1}\left ( 2+ \frac{2z}{x+y}\right )$
Lại có : $z^{2}+1=\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )\leq \frac{\left ( x+y+2z \right )^{2}}{4}\Rightarrow 2(\sqrt{z^{2}+1}-z)\leq x+y$
$\Rightarrow LHS\leq \frac{1}{z^{2}+1}\left ( z\left ( \sqrt{z^{2}+1}+z \right )+2 \right ) =1+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{1}{z^{2}+1}$
Mình nghĩ phải là $\frac{z}{z^{2}+1}$ chứ nhỉ
cách của bạn ngược dấu mất rồi
Lời giải:
Ta có $LHS=\frac{1}{x+y}\left ( \frac{x+y+2z}{z^{2}+1} \right )+\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z^{2}+1}\left ( 2+ \frac{2z}{x+y}\right )$
Lại có : $z^{2}+1=\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )\leq \frac{\left ( x+y+2z \right )^{2}}{4}\Rightarrow 2(\sqrt{z^{2}+1}-z)\leq x+y$
$\Rightarrow LHS\leq \frac{1}{z^{2}+1}\left ( z\left ( \sqrt{z^{2}+1}+z \right )+2 \right ) =1+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{1}{z^{2}+1}$
Mình nghĩ phải là $\frac{z}{z^{2}+1}$ chứ nhỉ
Ngược dấu chỗ nào thế bạn chỉ mình với
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh