Chủ đề này có 5 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $x, y, z > 0 \in \mathbb{R}$ thỏa $xy+yz+zx=1.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}.$

 

[yeutoan2001]

Cho $x, y, z > 0 \in \mathbb{R}$ thỏa $xy+yz+zx=1.$ Chứng minh rằng $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}}\leq 1+\frac{3\sqrt{3}}{4}.$

Đề sai rồi nha bạn <= 9/4 mới đúng

[Zz Isaac Newton Zz]

Đề chuẩn luôn đó nha bạn...

[yeutoan2001]

Thế để mình chứng minh Mình sẽ chứng minh theo kiểu <=9/4 nha và bạn sẽ thấy nó đúng 

 

$\sum \frac{1}{1+x^{2}}\leq \frac{9}{4} <=> \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{4}$

     Cauchy swarch Và dễ chứng minh được điều này nha 

                   $\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$
Vậy VT<=9/4<1+3căn3/4

[Senju Hashirama]

Thế để mình chứng minh Mình sẽ chứng minh theo kiểu <=9/4 nha và bạn sẽ thấy nó đúng 

 

$\sum \frac{1}{1+x^{2}}\leq \frac{9}{4} <=> \sum \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{4}$

     Cauchy swarch Và dễ chứng minh được điều này nha 

                   $\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}\geq \frac{3}{4}$
Vậy VT<=9/4<1+3căn3/4

cách của bạn ngược dấu mất rồi 

 

Lời giải:

 Ta có $LHS=\frac{1}{x+y}\left ( \frac{x+y+2z}{z^{2}+1} \right )+\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z^{2}+1}\left ( 2+ \frac{2z}{x+y}\right )$

   Lại có : $z^{2}+1=\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )\leq \frac{\left ( x+y+2z \right )^{2}}{4}\Rightarrow 2(\sqrt{z^{2}+1}-z)\leq x+y$

$\Rightarrow LHS\leq \frac{1}{z^{2}+1}\left ( z\left ( \sqrt{z^{2}+1}+z \right )+2 \right ) =1+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{1}{z^{2}+1}$

 

Mình nghĩ phải là $\frac{z}{z^{2}+1}$  chứ nhỉ 

[yeutoan2001]

cách của bạn ngược dấu mất rồi 

 

Lời giải:

 Ta có $LHS=\frac{1}{x+y}\left ( \frac{x+y+2z}{z^{2}+1} \right )+\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{z^{2}+1}\left ( 2+ \frac{2z}{x+y}\right )$

   Lại có : $z^{2}+1=\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )\leq \frac{\left ( x+y+2z \right )^{2}}{4}\Rightarrow 2(\sqrt{z^{2}+1}-z)\leq x+y$

$\Rightarrow LHS\leq \frac{1}{z^{2}+1}\left ( z\left ( \sqrt{z^{2}+1}+z \right )+2 \right ) =1+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{1}{z^{2}+1}$

 

Mình nghĩ phải là $\frac{z}{z^{2}+1}$  chứ nhỉ 

Ngược dấu chỗ nào thế bạn chỉ mình với