Chủ đề này có 1 trả lời

[NTMFlashNo1]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

                                                           $x^{7}+92=y^{2}$

[duythanbg]

Bổ đề : Nếu p là số nguyên tố và $p\equiv 3(mod4)$, $p|a^2+b^2$ thì $p|(a,b)$

 

Nếu x là số chẵn ta dễ chứng minh được phương trình vô nghiệm.

 

Xét x là số lẻ. Do số chính phương lẻ chia 4 dư 1 nên x chia 4 dư 1                  (2)

Phương trình có dạng : $x^7+2^7=y^2+36$

Do $x^7+2^7=(x+2)(x^6-2x^5+...+64)$

mà  $x+2$  chia 4 dư 3.

Vì vậy $x^7+2^7$ phải có ước nguyên tố $p\equiv 3(mod 4)$

Do đó $p|x^2+6^2\Rightarrow p|6\Rightarrow p=3$

Suy ra x chia 3 dư 1           (1)

Suy ra $9|y^2+6^2$ 

Mà từ (1) suy ra : $x^6-...+64\equiv 1(mod3)$

Do đó $x+2\equiv 0(mod9)$                                                                                (3)

Từ các điều trên và (2),(3) ta có thể đặt : 

$x=36t+25,y=3m$

Suy ra : $(4t+3)A=m^2+2^2$

Do 4t + 3 phải có ước nguyên tố q chia 4 dư 3 nên $q|m^2+2^2\Rightarrow q|2$ ( Vô lý )