Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 28-11-2016 - 07:57

Cho $x, y, z>0$, $x+y+z=1$. CMR: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+1$


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#2 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 28-11-2016 - 12:36

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3 \right )\geq \left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}-2 \right )$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{xy}{z}-2(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Ta có: 

$\sum \frac{x^{2}}{y}-(x+y+z)=\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}$

Và  $\sum \frac{xy}{z}-(x+y+z)=\frac{\sum x^{2}(y-z)^{2}}{2xyz}\geq 0$

Bài toán quy về chứng minh:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \left ( x-z \right )^{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y+z} \right )$

Việc cuối cùng ta duy nhất chỉ cần chứng minh:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{x+y+z}{(x+y)(y+z)}$

$\Leftrightarrow \frac{y(x+y+z)}{x(x+y)(y+z)}\geq 0$

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z.

$\square$



#3 anh1999

anh1999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 355 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT lê hữu Trác-Hương sơn-Hà tĩnh

Đã gửi 28-11-2016 - 20:44

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-3 \right )\geq \left ( x+y+z \right )\left ( \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}-2 \right )$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{xy}{z}-2(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Ta có: 

$\sum \frac{x^{2}}{y}-(x+y+z)=\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}$

Và  $\sum \frac{xy}{z}-(x+y+z)=\frac{\sum x^{2}(y-z)^{2}}{2xyz}\geq 0$

Bài toán quy về chứng minh:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \frac{(x+y+z)(x-z)^{2}}{(x+y)(y+z)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:

$\sum \frac{(x-y)^{2}}{y}\geq \left ( x-z \right )^{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y+z} \right )$

Việc cuối cùng ta duy nhất chỉ cần chứng minh:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}\geq \frac{x+y+z}{(x+y)(y+z)}$

$\Leftrightarrow \frac{y(x+y+z)}{x(x+y)(y+z)}\geq 0$

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z.

$\square$

chỗ này dấu bằng đâu xảy ra tại x=y=z


Trần Quốc Anh


#4 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 28-11-2016 - 21:03

chỗ này dấu bằng đâu xảy ra tại x=y=z

ko cần bạn vì nhân với cái BĐT kia mà 2 vế BĐT đó khi xảy ra đẳng thức thì bằng 0 mà

cái (x-z)^2 á


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh