6 replies to this topic

[Zeref]

Bài 1: Hàm số $f(x)$ liên tục và xác định với mọi x là số thực thoả điều kiện

$f(f(x))=f(x)+x$

Hãy tìm 2 hàm số như thế

Bài 2: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả

$f(x+y)+f(x-y)-2f(x)f(1+y)=2xy(3y-x^2)$

Bài 3: Tìm hàm $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thoả

$f(f(n))+f(n)=2n+3$

Edited by Zeref, 28-11-2016 - 19:54.

[halloffame]

Bài 1: Hàm số $f(x)$ liên tục và xác định với mọi x là số thực thoả điều kiện

$f(f(x))=f(x)+x$

Hãy tìm 2 hàm số như thế.

$f(x) =( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt{5}}{2})x.$

[halloffame]

Bài 3: Tìm hàm $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thoả

$f(f(n))+f(n)=2n+3$

Thay $n=0 \Rightarrow f(f(0))+f(0)=3.$ Do $f(0) \in \mathbb{N}$ nên $f(0) \in \{ 0;1;2;3 \} .$

_Nếu $f(0)=0$ thì $f(f(0))=3 \Rightarrow 0=3$ (vô lí).

_Nếu $f(0)=3$ thì $f(f(0))=0 \Rightarrow 0=3$ (vô lí).

_Nếu $f(0)=2$ thì $f(f(0))=1 \Rightarrow f(2)=1.$

  Thay $n=2 \Rightarrow f(1)+f(2)=7 \Rightarrow f(1)=6$ (vô lí vì $f(1)=5-f(f(1))<5$ ).

Vậy $f(0)=1 \Rightarrow f(1)=2 \Rightarrow f(2)=3 .......$

Bằng quy nạp ta chứng minh được $f(n)=n+1, \forall n \in \mathbb{N}.$ Thử lại thỏa mãn.

[Zeref]

$f(x) =( \frac{1}{2} \pm \frac{ \sqrt{5}}{2})x.$

Cho em hỏi, nếu dự đoán x là hàm bậc nhất rồi đồng nhất hệ số thì phải chứng minh không còn hàm khác thoả mãn như thế nào ạ ?

[IHateMath]

Cho em hỏi, nếu dự đoán x là hàm bậc nhất rồi đồng nhất hệ số thì phải chứng minh không còn hàm khác thoả mãn như thế nào ạ ?

Bạn tham khảo ở đây nhé: http://www.artofprob...1344617p7316804. (Subcase 7.1.1). Post hơi dài vì ở đó là bài toán tồng quát hơn. Chú ý, nếu bỏ đi điều kiện hàm liên tục, sẽ dẫn tới những hàm "kỳ dị" (trường hợp này cũng giống như PTH Cauchy). Xem thêm tại: https://www.artofpro...1345962p7326591.

[Zeref]

Bạn tham khảo ở đây nhé: http://www.artofprob...1344617p7316804. (Subcase 7.1.1). Post hơi dài vì ở đó là bài toán tồng quát hơn. Chú ý, nếu bỏ đi điều kiện hàm liên tục, sẽ dẫn tới những hàm "kỳ dị" (trường hợp này cũng giống như PTH Cauchy). Xem thêm tại: https://www.artofpro...1345962p7326591.

Có sử dụng lim mà em không hiểu

[manhtuan00]

$f(f(x))=f(x)+x$

Từ đề bài ta có $f$ đơn ánh, mà $f$ liên tục nên $f$ đơn điệu thực sự

Thay $x$ bởi $0$ ta có $f(f(0)) = f(0)$ nên $f(0) = 0$

Ta sẽ chứng minh $f$ là song ánh

Thật vậy, giả sử tồn tại $a$ sao cho $f(x) \neq a$ $\forall x $

Do $f$ liên tục nên $f(x) > a$ hoặc $f(x) < a$ $\forall x$

Trường hợp 1 : $f(x) > a $ $\forall x$

Nếu $f$ giảm ngặt, ta có $f(x) > a \implies f(f(x)) < f(a)$

$\implies a+x < f(x) +x < f(a)$

Từ đây ta có $x < f() - a$ với mọi $x$. Ta có điều mâu thuẫn

$\implies f$ tăng ngặt. Khi đó ta có với mọi $x$ âm thì $f(x) > f(x) +x = f(f(x)) > f(a) \implies x > a $ $\forall x < 0$ ta có điều mẫu thuẫn 

Trường hợp 2 : $f(x) < a$ $\forall x$. trường hợp này có thể chứng minh tương tự trường hợp 1

Vậy $f$ song ánh nên tồn tại hàm ngược

Gọi $g(x) = f_{-1}(x)$ là hàm ngược của $f(x)$

Đặt $f_0(x) = x, f_n(x) = f(f_{n-1}(x))$, ta có dãy như sau 

$f_{n+2}(x) - f_{n+1}(x)-f_n{x} = 0$

Ta có công thức tổng quát 

$f_n(x) = \frac{f(x)-x(\frac{1-\sqrt{5}}{2})}{\sqrt{5}}.(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{x(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-f(x)}{\sqrt{5}}).(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$ $(1)$

Thay $x$ bởi $g(g(x))$ vào đẳng thức ban đầu ta được dãy : $g(g(x))+g(x) - x = 0$

$\implies g_{n+2}(x)+g_{n+1}(x) - g_n{x} = 0$

Từ đây ta thu được công thức tổng quát 

$g_n(x) = \frac{g(x)+x(\frac{1+\sqrt{5}}{2})}{\sqrt{5}}.(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{x(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})-g(x)}{\sqrt{5}}).(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^n$

Thay $x$ bởi $g(x)$ vào đẳng thức ban đầu ta có $f(x) = g(x) + x$ hay $g(x) = f(x) - x$

Vậy ta có $g_n(x) = \frac{f(x)+x(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}{\sqrt{5}}.(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{x(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-f(x)}{\sqrt{5}}).(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^n$

Trường hợp 1 : $f$ tăng ngặt , khi đó $f_n(x), g_n(x)$ đều tăng ngặt

Ta có $f(0) = g(0) = 0 \implies f_n(0) = g_n(0) = 0$

Với mỗi $x > 0 $ thì $g_n(x) > g_n(0) = 0$ và $f_n(x) > f_n(0) = 0$

Xét $g_n(x) = \frac{f(x)+x(\frac{\sqrt{5}-1}{2})}{\sqrt{5}}.(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{x(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-f(x)}{\sqrt{5}}).(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^n$

Nếu $(\frac{x(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-f(x)}{\sqrt{5}}) < 0$ thì ta chọn $n$ chẵn đủ lớn 

Khi $n$ đủ lớn thì $\lim_{n\rightarrow +\infty } (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^n = 0$ và $\lim_{n\rightarrow +\infty } (\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^n = + \infty$ nên $g_n(x) < 0$ ta có điều mâu thuẫn

Nếu $(\frac{x(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-f(x)}{\sqrt{5}}) > 0$ ta chọn $n$ lẻ đủ lớn , ta lại có $g_n(x) < 0$ nên mâu thuẫn

$\implies (\frac{x(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-f(x)}{\sqrt{5}}) = 0$ từ đây ta thu được nghiệm hàm 

$f(x) = x . \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Trường hợp 2 : $f$ giảm ngặt . Khi đó $f_{2n}$ tăng, $f_{2n+1}$ giảm ngặt . Khi đó với mọi $x$ dương ta có $f_{2n}(x) > f_{2n}(0) = 0 = f_{2n+1}(0) > f_{2n+1}(x)$

Xét công thức tổng quát $f_n(x) = \frac{f(x)-x(\frac{1-\sqrt{5}}{2})}{\sqrt{5}}.(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{x(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-f(x)}{\sqrt{5}}).(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$ $(1)$

Làm tương tự Trường hợp 1 ta thu được nghiệm hàm $f(x) = x. \frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Vậy các hàm thỏa mãn là $f(x) = x. \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ và $f(x) = x . \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ $\forall x $$\in $ $\mathbb R$