Chủ đề này có 1 trả lời

[Ruby Dalek]

Cho hệ phương trình tuyến tính:

 

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ ...\\ a_{n1}x_{1}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{matrix}\right.$

 

trong đó $a_{ij}$, $b_{k}\in \mathbb{Z}$

Tìm điều kiện của $a_{ij}$ để hệ phương trình trên có nghiệm nguyên với mọi $b_{k}\in \mathbb{Z}$

 

[An Infinitesimal]

Cho hệ phương trình tuyến tính:

 

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ ...\\ a_{n1}x_{1}+...+a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{matrix}\right.$

 

trong đó $a_{ij}$, $b_{k}\in \mathbb{Z}$

Tìm điều kiện của $a_{ij}$ để hệ phương trình trên có nghiệm nguyên với mọi $b_{k}\in \mathbb{Z}$

 

Giả sử  $a_{ij}$ thỏa hệ phương trình trên có nghiệm nguyên với mọi $b_{k}\in \mathbb{Z}.$

 

Đặt $A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n.$ Ta đồng nhất $A \equiv (a_{ij}).$

 

Ta nhận thấy rằng $range(A)$ là một không gian vector. Hơn nữa, theo giả thiết, ta có $\mathbb{Z}^n \subset range(A).$

Do đó $range(A)=\mathbb{R}^n$.

 

Mặt khác $\dim\quad range(A)+\dim\quad KerA =n$ nên $Ker A= \{\mathbf{0}\}$.

Suy ra $A$ là song ánh. Khi đó mỗi $\mathbb{b}= [b_1, b_2, ..., b_n]^{T} \in \mathbb{Z}^n,\mathbb{x}=[x_1, x_2, ..., x_n]^{T}= A^{-1}\mathbb{b}.$

Ta ràng buộc $A^{-1}\mathbb{b}\in \mathbb{Z}^n \forall \mathbb{b}\in \mathbb{Z}^n.$

Suy ra $A^{-1}=A^{-1} \mathbb{I}_n \in  M_n(\mathbb{Z}).$

 

Từ đó, ta qui bài toán trên về bài toán: Tìm $A\in M_n(\mathbb{Z})$ khả nghịch sao cho $A^{-1}  \in  M_n(\mathbb{Z}).$

Bài toán được giải quyết thông qua mệnh đề sau:

Với $A\in M_n(\mathbb{Z})$ khả nghịch, ta có 

$A^{-1}\in M_n(\mathbb{Z})$ khả nghịch $\iff |\det(A)|=1.$

Chứng minh mệnh đề trên.

 

Nhận xét: Khi $A\in M_n(\mathbb{Z})$, ta có ma trận phó của ma trận $A, adj(A),$ thỏa $adj(A) \in M_n(\mathbb{Z}).$

 

$\Rightarrow)$

Vì $A, A^{-1} \in M_n(\mathbb{Z})$ nên $\det(A), \det(A^{-1}) \in \mathbb{Z}$. Hơn nữa $\det(A)\det(A^{-1})=1.$ Suy ra điều phải chứng minh.

 

$\Leftarrow)$

Hiển nhiên vì $A^{-1}= \frac{1}{\det(A)} adj(A).$

 

 

Kết luận: Tất cả các ma trận cần tìm là ma trận "nguyên" có định thức bằng $1$ hoặc $-1.$