Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$p\mid 2m-n$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 05-12-2016 - 11:49

Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ và 2 số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $\gcd(m,n)=1$ và

                $\frac{1}{0^2+1}+\frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+1}+....+\frac{1}{(p-1)^2+1}=\frac{m}{n}$

Chứng minh rằng:  $p\mid 2m-n$



#2 NTMFlashNo1

NTMFlashNo1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 346 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{K50}}\sim \boxed{\text{CSP}}$

Đã gửi 11-12-2016 - 15:42

Chọn đội tuyển lớp 10 KHTN 2016-2017

(mỗi tội chưa làm ra)


$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$


#3 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 11-12-2016 - 22:56

Nhận xét 1: các mẫu không chia hết cho $p$ nên có thể rút gọn các phân số mà không làm thay đổi tính chất sau giữa tử và mẫu :$x\equiv y(mod p)$.

Nhận xét 2: Với mỗi $x\in Z_p/\left \{ 0 \right \}$, tồn tại duy nhất $y\in Z_p/\left \{ 0 \right \}$ thỏa $xy\equiv 1(mod p)$. Khi đó nếu $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{k}{l}$ thì $k\equiv l(mod p)$ (cộng lại và áp dụng nhận xét 1).

Xét $2$ lần cái tổng đang xét, cộng từng cặp (nhận xét 2) lại ta được tổng $\frac{2m}{n}=2+\sum_{i=1}^{p-1}\frac{a_i}{b_i}, a_i\equiv b_i(mod p)$, cộng lại, xét tử và mẫu: $\sum_{i=1}^{p-1} a_i\prod_{j\neq i}b_j+2\prod_{i=1}^{p-1}b_i\equiv (p+1)\prod_{i=1}^{p-1}b_i\equiv \prod_{i=1}^{p-1}b_i(mod p)\Rightarrow 2m\equiv n(mod p)$ (nhận xét 1).

(Q.E.D)

Sao có thể đưa bài khó thế này đầu tiên nhỉ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 11-12-2016 - 23:12


#4 tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-01-2017 - 22:23

Chọn đội tuyển lớp 10 KHTN 2016-2017
(mỗi tội chưa làm ra)

bạn có thể cho mình xin đề o ?

      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh