Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ và 2 số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $\gcd(m,n)=1$ và
$\frac{1}{0^2+1}+\frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+1}+....+\frac{1}{(p-1)^2+1}=\frac{m}{n}$
Chứng minh rằng: $p\mid 2m-n$
Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ và 2 số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $\gcd(m,n)=1$ và
$\frac{1}{0^2+1}+\frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+1}+....+\frac{1}{(p-1)^2+1}=\frac{m}{n}$
Chứng minh rằng: $p\mid 2m-n$
Chọn đội tuyển lớp 10 KHTN 2016-2017
(mỗi tội chưa làm ra)
$\boxed{\text{Nguyễn Trực-TT-Kim Bài secondary school}}$
Nhận xét 1: các mẫu không chia hết cho $p$ nên có thể rút gọn các phân số mà không làm thay đổi tính chất sau giữa tử và mẫu :$x\equiv y(mod p)$.
Nhận xét 2: Với mỗi $x\in Z_p/\left \{ 0 \right \}$, tồn tại duy nhất $y\in Z_p/\left \{ 0 \right \}$ thỏa $xy\equiv 1(mod p)$. Khi đó nếu $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}=\frac{k}{l}$ thì $k\equiv l(mod p)$ (cộng lại và áp dụng nhận xét 1).
Xét $2$ lần cái tổng đang xét, cộng từng cặp (nhận xét 2) lại ta được tổng $\frac{2m}{n}=2+\sum_{i=1}^{p-1}\frac{a_i}{b_i}, a_i\equiv b_i(mod p)$, cộng lại, xét tử và mẫu: $\sum_{i=1}^{p-1} a_i\prod_{j\neq i}b_j+2\prod_{i=1}^{p-1}b_i\equiv (p+1)\prod_{i=1}^{p-1}b_i\equiv \prod_{i=1}^{p-1}b_i(mod p)\Rightarrow 2m\equiv n(mod p)$ (nhận xét 1).
(Q.E.D)
Sao có thể đưa bài khó thế này đầu tiên nhỉ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 11-12-2016 - 23:12
For the love of Canidae
bạn có thể cho mình xin đề o ?Chọn đội tuyển lớp 10 KHTN 2016-2017
(mỗi tội chưa làm ra)
Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh