Chủ đề này có 1 trả lời

[huykinhcan99]

Cho $a$, $b$ là các số thực dương, $n$ là một số nguyên dương lẻ. Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[S=\sum^{n}_{k=1} \left(-1\right)^{k+1} \left(\dfrac{a^k}{b^k}+\dfrac{b^k}{a^k}\right)\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 05-12-2016 - 23:45

[quanguefa]

Cho $a$, $b$ là các số thực dương, $n$ là một số nguyên dương lẻ. Tìm giá trị nhỏ nhất của

\[S=\sum^{n}_{k=1} \left(-1\right)^{k+1} \left(\dfrac{a^k}{b^k}+\dfrac{b^k}{a^k}\right)\]

Ta có BĐT sau: $\frac{a^k}{b^k}+\frac{b^k}{a^k}\geq \frac{a^{k-1}}{b^{k-1}}+\frac{b^{k-1}}{a^{k-1}}\Leftrightarrow (a-b)(a^{2k-1}-b^{2k-1})\geq 0$

(BĐT luôn đúng vì $(a;b)$ và $(a^{2k-1};b^{2k-1})$ là 2 bộ cùng chiều)

Áp dụng BDT trên bằng cách ghép tương ứng các cặp k chẵn-lẻ (2 với 3, 4 với 5,... , n-1 với n). Ta được:

$S=\sum^{n}_{k=1} \left(-1\right)^{k+1} \left(\dfrac{a^k}{b^k}+\dfrac{b^k}{a^k}\right)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

Đẳng thức xảy ra khi a=b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 07-12-2016 - 19:56