Tìm x,a,b nguyên dương $2^{x}=a^{b}+1$
$2^{x}=a^{b}+1$
Bắt đầu bởi yeutoan2001, 05-12-2016 - 19:40
#2
Đã gửi 18-12-2016 - 15:17
Với $x=1$ dễ có $a=1$ và $b$ nguyên dương bất kì là nghiệm.
Xét $x \geq 2$
Khi đó $4|L.H.S$ nên dễ có $a,b$ lẻ.
Do $b$ lẻ nên $a+1|a^b+1=2^x$
Do đó $a=2^k -1$($k$ nguyên dương)
Dễ xử lí TH $k=1$.
Xét $k \geq 2$. Khi đó $4|(2^k-1)-(-1)$
Ta có $v_{2}{[(2^k-1)^b+1]}=v_{2}{[(2^k-1)^b-(-1)^b]}\\ =v_{2}{(2^k-1+1)}+v_{2}{(b)}=k=v_{2}{(x)}=x$
Vậy $k=x$ nên $b=1$
Nghiệm là $(a,b,x)=(2^t-1,1,t)$
Xét $x \geq 2$
Khi đó $4|L.H.S$ nên dễ có $a,b$ lẻ.
Do $b$ lẻ nên $a+1|a^b+1=2^x$
Do đó $a=2^k -1$($k$ nguyên dương)
Dễ xử lí TH $k=1$.
Xét $k \geq 2$. Khi đó $4|(2^k-1)-(-1)$
Ta có $v_{2}{[(2^k-1)^b+1]}=v_{2}{[(2^k-1)^b-(-1)^b]}\\ =v_{2}{(2^k-1+1)}+v_{2}{(b)}=k=v_{2}{(x)}=x$
Vậy $k=x$ nên $b=1$
Nghiệm là $(a,b,x)=(2^t-1,1,t)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 18-12-2016 - 15:19
- yeutoan2001 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh