Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhnam2000]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $P$ là một điểm nằm trong tam giác và nằm trên phân giác trong của $\angle BAC$. Gọi $E,F$ là điểm chính giữa của cung $AC,AB$. $AE$ giao đường tròn $(APC)$ tại điểm thứ hai là $M$, $AF$ giao đường tròn $(APB)$ tại điểm thứ hai là $N$. Chứng minh rằng: $MN\parallel EF$.

[halloffame]

Xét phép nghịch đảo tâm $A$ phương tích bất kì, ta đưa bài toán đã cho về bổ đề sau:

Bổ đề. Cho $\Delta ABC,P$ là điểm bất kì trong tam giác và thuộc phân giác trong góc $A.E,F$ là các điểm trên tia đối $CB,BC$ sao cho $CE=CA,BF=BA.$

Gọi $M,N=AE,AF \cap CP,BP.$ Khi đó $(AEF)$ tiếp xúc $(AMN).$

Chứng minh.

Spoiler

Gọi $I_a,I_b,I_c,I$ là các tâm bàng tiếp góc $A,B,C$ và tâm nội tiếp $\Delta ABC.$ Khi đó $\overline{A,I,P,I_a},\overline{I_b,I_c,A},\overline{I_c,I_a,B},\overline{I_b,I_a,C}$ và $I$ là trực tâm $\Delta I_aI_bI_c.$ Gọi $I'=AI \cap BC.$

Theo định lí Menelaus, $\frac{MA}{ME}.\frac{EC}{CI'}.\frac{I'P}{PA}=1=\frac{NA}{NF}.\frac{FB}{BI'}.\frac{I'P}{PA}.$

Theo định lí Thales, $\frac{EC}{CI'}=\frac{AI}{II'}=\frac{FB}{BI'} \Rightarrow \frac{MA}{ME}=\frac{NA}{NF} \Rightarrow MN \parallel EF \Rightarrow (AEF)$ tiếp xúc $(AMN)$ (đpcm).

Để hiểu hơn về phép nghịch đảo mình đã sử dụng bạn có thể tham khảo tại đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 05-12-2016 - 22:53