Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$
#1
Đã gửi 05-12-2016 - 22:24
#2
Đã gửi 05-12-2016 - 23:32
Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$
Đặt $\dfrac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}=t$, khi đó
\begin{align*} &\phantom{\iff~} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot x - \left(1+\sqrt{x^2+1}\right)}{x^2} \mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ &\iff -\dfrac{1+\sqrt{x^2+1}}{x^2\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d} x = \mathrm{d} t \\ &\iff \dfrac{\mathrm{d} x}{x\sqrt{x^2+1}}=-\dfrac{\mathrm{d}t}{t} \end{align*}
Vậy
\begin{align*} I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{\mathrm{d} x}{x\sqrt{x^{2}+1}} = -\int \limits _{1+\sqrt{2}} ^\tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \dfrac{\mathrm{d} t}{t}=-\ln \left| t \right| \Bigg| _{1+\sqrt{2}} ^\tfrac{1+\sqrt{5}}{2} =\ln\dfrac{2\left(1+\sqrt{2}\right)}{1+\sqrt{5}} \end{align*}
- Amynguyen yêu thích
#3
Đã gửi 06-12-2016 - 08:32
Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$
cách 2:
$=\int \frac{xdx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$
đặt $t=\sqrt{x^2+1}=>t^2=x^2+1=>tdt=xdx$
$=> =\int \frac{tdt}{t(t^2-1)}=\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}|+c$
- Amynguyen yêu thích
Mọi người đều là thiên tài. Nếu bạn đánh giá một con cá bằng khả năng leo cây của nó thì cả đời nó sẽ sống mà tin rằng nó thật ngu ngốc.
Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.
- Albert Einstein-
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tích phân
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x.(e^{x^3}-e^{-x^3})}}$Bắt đầu bởi Lyua My, 27-01-2024 giải tích, tích phân |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tài liệu và chuyên đề Giải tích →
$\int_{0}^{1}(f'(x))^{2}=\int_{0}^{1}(x+1)e^{x}f(x)dx=\frac{e^{2}-1}{4}$Bắt đầu bởi Explorer, 01-12-2023 giải tích, hàm số, đạo hàm và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$. Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$Bắt đầu bởi Saturina, 24-11-2023 tích phân, giải tích và . |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\int_{0}^{2}\sqrt{1+x^3}dx$Bắt đầu bởi tiennuru, 14-04-2022 tích phân, giải tích |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
Khảo sát sự hội tụ của tích phân $\int_{0}^{+\infty }\sqrt{x}e^{-x}dx$Bắt đầu bởi Pretty Puppy, 24-11-2021 tích phân |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh