Chủ đề này có 2 trả lời

[Amynguyen]

Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$

[huykinhcan99]

Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$

 

 

Đặt $\dfrac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}=t$, khi đó

\begin{align*} &\phantom{\iff~} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot x - \left(1+\sqrt{x^2+1}\right)}{x^2} \mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ &\iff -\dfrac{1+\sqrt{x^2+1}}{x^2\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d} x = \mathrm{d} t \\ &\iff \dfrac{\mathrm{d} x}{x\sqrt{x^2+1}}=-\dfrac{\mathrm{d}t}{t}  \end{align*}

 

Vậy

\begin{align*} I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{\mathrm{d} x}{x\sqrt{x^{2}+1}} = -\int \limits _{1+\sqrt{2}} ^\tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \dfrac{\mathrm{d} t}{t}=-\ln \left| t \right| \Bigg| _{1+\sqrt{2}} ^\tfrac{1+\sqrt{5}}{2} =\ln\dfrac{2\left(1+\sqrt{2}\right)}{1+\sqrt{5}} \end{align*}

[Nguyen Kieu Phuong]

Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$

cách 2:

$=\int \frac{xdx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$

đặt $t=\sqrt{x^2+1}=>t^2=x^2+1=>tdt=xdx$

$=> =\int \frac{tdt}{t(t^2-1)}=\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}|+c$