Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$

Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$
#1
Đã gửi 05-12-2016 - 22:24
#2
Đã gửi 05-12-2016 - 23:32
Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$
Đặt $\dfrac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}=t$, khi đó
\begin{align*} &\phantom{\iff~} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot x - \left(1+\sqrt{x^2+1}\right)}{x^2} \mathrm{d}x=\mathrm{d}t \\ &\iff -\dfrac{1+\sqrt{x^2+1}}{x^2\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d} x = \mathrm{d} t \\ &\iff \dfrac{\mathrm{d} x}{x\sqrt{x^2+1}}=-\dfrac{\mathrm{d}t}{t} \end{align*}
Vậy
\begin{align*} I=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{\mathrm{d} x}{x\sqrt{x^{2}+1}} = -\int \limits _{1+\sqrt{2}} ^\tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \dfrac{\mathrm{d} t}{t}=-\ln \left| t \right| \Bigg| _{1+\sqrt{2}} ^\tfrac{1+\sqrt{5}}{2} =\ln\dfrac{2\left(1+\sqrt{2}\right)}{1+\sqrt{5}} \end{align*}
- Amynguyen yêu thích
#3
Đã gửi 06-12-2016 - 08:32
Tính tích phân: $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+1}}$
cách 2:
$=\int \frac{xdx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$
đặt $t=\sqrt{x^2+1}=>t^2=x^2+1=>tdt=xdx$
$=> =\int \frac{tdt}{t(t^2-1)}=\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}|+c$
- Amynguyen yêu thích
Mọi người đều là thiên tài. Nếu bạn đánh giá một con cá bằng khả năng leo cây của nó thì cả đời nó sẽ sống mà tin rằng nó thật ngu ngốc.
Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.
- Albert Einstein-
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tích phân
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tích phân RiemmenBắt đầu bởi sun3000, 16-09-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
Giá trị của a + b + 2c bằng:Bắt đầu bởi caubechanbo, 17-05-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
Biết $\int_{0}^{1}\frac{x^{3}+2x^{2}+3}{x+2}dx=\frac{1}{a}+bln\frac{3}{2}$Bắt đầu bởi youaremyfriend, 04-02-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
tính tích phânBắt đầu bởi youaremyfriend, 03-02-2020 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tích phân dữ liệu sốBắt đầu bởi Khanh Huy, 11-09-2019 ![]() |
|
![]() |
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh