Chủ đề này có 3 trả lời

[yeutoan2001]

 Chứng minh bằng phuwong pháp p,q,r: 

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})\leq \frac{1}{32}$

[quanguefa]

Ta có: $\prod (a^2+b^2)=\sum a^2.\sum a^2b^2-a^2b^2c^2=(p^2-2q)(q^2-2pr)-r^2=(1-2q)(q^2-2r)-r^2$

Ta cần chứng minh: $S=r^2+2r(1-2q)+2q^3-q^2+\frac{1}{32}\geq 0$

Dễ có: $0<q\leq \frac{1}{3}$

Đến đây xét 2 trường hợp: 

TH1: $0<q<\frac{1}{4}$

Vì $r\geq 0$ nên: $S\geq 2q^3-q^2+\frac{1}{32}\geq 0$

TH2: $\frac{1}{4}\leq q\leq \frac{1}{3}$

Theo Schur bậc 1: $r\geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}\Rightarrow r^2\geq \frac{(4q-1)^2}{81}$

Tới đây thế vào biểu thức S, đưa về hàm với biến q. Biến đổi tương đương hoặc tính đạo hàm (hàm đồng biến) là xong!

[Baoriven]

Có thể mở rộng cho $1$ bài tương tự:

Cũng với điều kiện trên. Chứng minh: 

$(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)\leq \frac{1}{256}$

[tritanngo99]

 Chứng minh bằng phuwong pháp p,q,r: 

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})\leq \frac{1}{32}$

Không mất tính tổng quát, giả sử: $c=min(a;b;c),x=a+\frac{c}{2};y=b+\frac{c}{2}$.

Khi đó, ta có: $a^2+b^2\le x^2+y^2,a^2+c^2\le x^2,b^2+c^2\le y^2$.

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$(x+y)^6\ge 32(x^2+y^2)x^2y^2(*)$.

Đặt $x^2+y^2=2kxy\implies k\ge 1$.

Khi đó: $(*)\iff (k+1)^3\ge 8k(TRUE)$. Do $(x+1)^3\ge 8k\sqrt{k}\ge 8k$.