Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Tích phân Chebyshev

tich phan huh ty

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Algebraic topology

Đã gửi 06-12-2016 - 18:50

Mình thấy các bạn thường hỏi mà cũng thường gặp loại tích phân sau ( rất hay gặp ):

$$F(m,n,p)=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$$

Gọi là tích phân hàm phân thức hữu tỷ , hoặc tích phân Chebyshev . Ông đã đưa ra các điều kiện để các nguyên hàm trên tính được . Cụ thể nó tính được bằng các phép toán đặt và các phép toán thông thường khi và chỉ khi nó rơi vào một trong ba trường hợp sau :

$1) p \in Z$

$2) \frac{m+1}{n} \in Z$

$3) \frac{m+1}{n}+p \in Z$

Ở đây nếu $b=0,n=0$ hiển nhiên tính được nên ta chỉ xét $b,n$ khác $0$ .

Trong từng trường hợp các phép đặt sau sẽ cho ta kết quả :

$1) p \in Z$

Trường hợp này đặt $x=t^{s}$ với $s$ là mẫu số chung của hai số $m,n$ . Về cơ bản phép đặt này rút gọn khai triển nhị thức .

$2) \frac{m+1}{n} \in Z$

Chúng ta sẽ đặt

$$a+bx^{n}=t$$

$$x=(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}}$$

$$dx = \frac{1}{n}(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}-1}dt$$

$$F(m,n,p)=\frac{1}{n}b^{-\frac{m+1}{n}}\int t^{p}(t-a)^{\frac{m+1}{n}-1}dt$$

Đến đây đưa về trường hợp đầu .

$3) \frac{m+1}{n} + p \in Z$

$$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx = \int x^{m+np} (ax^{-n}+b)^{p}dx$$

Ta có

$$\frac{m+np+1}{-n}=-(\frac{m+1}{n}+p) \in Z$$

Đến đây về trường hợp thứ hai . Cụ thể là phép đặt :

$$ax^{-n}+b=t$$

Nguồn :

Bài tập toán cao cấp - tập $1$ - A.G.Popop


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 06-12-2016 - 18:50

" As Grothendieck taught us , object aren't of great importance , it's relation between them that are " - Serre

#2 nguyenlyninhkhang

nguyenlyninhkhang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Đã gửi 07-12-2016 - 03:27

Bạn có file bài tập không cho mình xin ?



#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Algebraic topology

Đã gửi 07-12-2016 - 07:36

Bài tập dạng này rất nhiều mà bạn
" As Grothendieck taught us , object aren't of great importance , it's relation between them that are " - Serre

#4 Isidia

Isidia

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 26-09-2017 - 04:25

Bạn có file bài tập không cho mình xin ?

 

Nguyên bản tiếng Nga của sách của bạn bangbang đây:

 

http://www.novsu.ru/file/1059139

 

Trang 232.

 

Quyển ấy viết như vầy:

 

Tích phân của vi phân nhị thức ( дифференциальных биномов - Binomial differentials):  $\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$ với m,n.p là các số hữu tỷ.

 

Bài tập nằm ở trang dưới.

 

Chứng minh của ông Chebyshef nằm ở phần VIII của bài nghiên cứu "Sur l'integration des differentiels irrationelles" (Về tích phân của những vi phân hữu tỷ) (trang 106) in trong Tạp San Nghiên Cứu Toán Học Thuần Túy và Ứng Dụng (1853) (Journal de Mathématique pures et appliquées): 

 

sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1853_1_18_A5_0.pdf

 

Chebyshef nghiên cứu dựa trên kết quả của Abel:

https://archive.org/...age/92/mode/2up


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Isidia: 26-09-2017 - 07:02

Chính là gì, là đúng đắn. Nghịch là gì, là sai lệch. Đạo là gì, là đường đi. Chính đạo là đường đi đúng đắn dẫn người ta đến với lẽ phải. Nghịch đạo là lối mòn sai lệch dẫn người ta vào chốn lầm lạc. Đạo của việc học là để thị biệt đúng sai, phân định đâu là chính đạo, đâu là nghịch đạo. Than ôi, đường đời rối như trăm mối tơ vò, chính đạo chỉ có một mà nghịch đạo có cả trăm, biết theo lối nào đây? Cho nên, đạo của bậc làm thầy là dẫn lối cho kẻ học trò đến gần với chính đạo, can ngăn kẻ ngu ngơ rời xa khỏi nghịch đạo. Hướng về chính đạo, rời xa nghịch đạo há chỉ dừng ở đường thi thôi, mà còn phải dẫn lối suy nghĩ. Ngẫm sâu rồi mới nghe thầy, nghĩ sâu rồi mới theo thầy, đó là chính đạo của việc học . Chưa hiểu mà đã dạ vâng, tồn nghi mà không chịu hỏi, đó chính là nghịch đạo của phận học trò.


#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Algebraic topology

Đã gửi 26-09-2017 - 17:47

Cuốn này có bản dịch tiếng Việt , một trong những quyển đầu tiên dẫn dắt mình đến việc học toán . Nói đến dựa trên kq của Abel cũng không lạ vì hồi xưa toàn làm tp Elliptic


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 26-09-2017 - 17:48

" As Grothendieck taught us , object aren't of great importance , it's relation between them that are " - Serre

#6 Isidia

Isidia

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 27-09-2017 - 08:48

 Nói đến dựa trên kq của Abel cũng không lạ vì hồi xưa toàn làm tp Elliptic

Yup! Cái hình "còng số 8" của ông Bernoulli (leminiscate, người Tàu gọi là song nữu tuyến (双纽线), "nữu" () là cái quai, ý là đường quai đôi).

 

Cassini-Bernoulli-Fagnano-Euler-Legendre-Abel rồi tới ông Jacobi đáng kính. 


Chính là gì, là đúng đắn. Nghịch là gì, là sai lệch. Đạo là gì, là đường đi. Chính đạo là đường đi đúng đắn dẫn người ta đến với lẽ phải. Nghịch đạo là lối mòn sai lệch dẫn người ta vào chốn lầm lạc. Đạo của việc học là để thị biệt đúng sai, phân định đâu là chính đạo, đâu là nghịch đạo. Than ôi, đường đời rối như trăm mối tơ vò, chính đạo chỉ có một mà nghịch đạo có cả trăm, biết theo lối nào đây? Cho nên, đạo của bậc làm thầy là dẫn lối cho kẻ học trò đến gần với chính đạo, can ngăn kẻ ngu ngơ rời xa khỏi nghịch đạo. Hướng về chính đạo, rời xa nghịch đạo há chỉ dừng ở đường thi thôi, mà còn phải dẫn lối suy nghĩ. Ngẫm sâu rồi mới nghe thầy, nghĩ sâu rồi mới theo thầy, đó là chính đạo của việc học . Chưa hiểu mà đã dạ vâng, tồn nghi mà không chịu hỏi, đó chính là nghịch đạo của phận học trò.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh