Mình thấy các bạn thường hỏi mà cũng thường gặp loại tích phân sau ( rất hay gặp ):
$$F(m,n,p)=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx$$
Gọi là tích phân hàm phân thức hữu tỷ , hoặc tích phân Chebyshev . Ông đã đưa ra các điều kiện để các nguyên hàm trên tính được . Cụ thể nó tính được bằng các phép toán đặt và các phép toán thông thường khi và chỉ khi nó rơi vào một trong ba trường hợp sau :
$1) p \in Z$
$2) \frac{m+1}{n} \in Z$
$3) \frac{m+1}{n}+p \in Z$
Ở đây nếu $b=0,n=0$ hiển nhiên tính được nên ta chỉ xét $b,n$ khác $0$ .
Trong từng trường hợp các phép đặt sau sẽ cho ta kết quả :
$1) p \in Z$
Trường hợp này đặt $x=t^{s}$ với $s$ là mẫu số chung của hai số $m,n$ . Về cơ bản phép đặt này rút gọn khai triển nhị thức .
$2) \frac{m+1}{n} \in Z$
Chúng ta sẽ đặt
$$a+bx^{n}=t$$
$$x=(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}}$$
$$dx = \frac{1}{n}(\frac{t-a}{b})^{\frac{1}{n}-1}dt$$
$$F(m,n,p)=\frac{1}{n}b^{-\frac{m+1}{n}}\int t^{p}(t-a)^{\frac{m+1}{n}-1}dt$$
Đến đây đưa về trường hợp đầu .
$3) \frac{m+1}{n} + p \in Z$
$$\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx = \int x^{m+np} (ax^{-n}+b)^{p}dx$$
Ta có
$$\frac{m+np+1}{-n}=-(\frac{m+1}{n}+p) \in Z$$
Đến đây về trường hợp thứ hai . Cụ thể là phép đặt :
$$ax^{-n}+b=t$$
Nguồn :
Bài tập toán cao cấp - tập $1$ - A.G.Popop
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 06-12-2016 - 18:50