Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm bộ số thỏa mãn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
thanhbui20

thanhbui20

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Tìm bộ các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$



#2
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

$m^{3}+n^{3}-4\vdots m^{2}+n^{2} <=> (m+n)mn+4\vdots m^{2}+n^{2}$

$m^{3}+n^{3}-4+3mn(m+n)+12\vdots m^{2}+n^{2} => (m+n)^{3}-8\vdots m^{2}+n^{2}$

 => 2TH: 

            TH1 $m+n\vdots m^{2}+n^{2}$ Suy ra m=n=1 vì nếu m,n>1 ta dễ chứng minh $m^{2}+n^{2}$$>=m+n

            TH2: $2mn-2m-2n+4\vdots m^{2}+n^{2} => 2mn-2m-2n+4\geq m^{2}+n^{2} => 4+2mn>2mn-2m-2n+4>m^{2}+n^{2} => 4>(m-n)^{2}$

                       (dễ dàng tìm được m,n) 

Tìm bộ các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 07-12-2016 - 22:21


#3
tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết

$m^{3}+n^{3}-4\vdots m^{2}+n^{2} <=> (m+n)mn+4\vdots m^{2}+n^{2}$

$m^{3}+n^{3}-4+3mn(m+n)+12\vdots m^{2}+n^{2} => (m+n)^{3}-8\vdots m^{2}+n^{2}$

 => 2TH: 

            TH1 $m+n\vdots m^{2}+n^{2}$ Suy ra m=n=1 vì nếu m,n>1 ta dễ chứng minh $m^{2}+n^{2}$$>=m+n

            TH2: $2mn-2m-2n+4\vdots m^{2}+n^{2} => 2mn-2m-2n+4\geq m^{2}+n^{2} => 4+2mn>2mn-2m-2n+4>m^{2}+n^{2} => 4>(m-n)^{2}$

                       (dễ dàng tìm được m,n) 

đoạn màu đỏ vì sao lại được như vậy bạn 


      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#4
yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

đoạn màu đỏ vì sao lại được như vậy bạn 

Có $(m+n)^{3}-8\vdots m^{2}+n^{2} <=> (m+n)(m^{2}+n^{2}+2mn-2m-2n+4)\vdots m^{2}+n^{2}$

 DO $p=m^{2}+n^{2}$ là số nguyên tố đó  



#5
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

Tìm bộ các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$

Nhận thấy $m=n=1$ là $1$ nghiệm 
Ta có xét $m>1,n>1$ 
$m^3+n^3=(m+n)(m^2+n^2-mn)=(m+n)(p-mn) \Rightarrow mn(m+n)+4 \vdots p$ 
$\Rightarrow m^3+n^3+3mn(m+n)+8 \vdots p$ 
Hay $(m+n+2)(m^2+2mn+n^2-2m-2n+4) \vdots p$ 
TH1 : $m+n+2 \vdots p$ 
$m+n+2 \vdots m^2+n^2$
$\Leftrightarrow m^2+n^2=m+n+2$...
TH2 : $2mn-2m-2n+4 \vdots p=m^2+n^2$ 
Mầ $2mn-2m-2n+4<2mn-2-2+4 \le m^2+n^2$ 
$\Leftrightarrow 2mn-2m-2n+4=0$...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 08-12-2016 - 19:45


#6
Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 157 Bài viết
Ta có
$m^2+n^2|(m^2+n^2)(m+n)-mn(m+n)-4$ nên $m^2+n^2|mn(m+n)+4$(1)
Từ đó $m^2+n^2 \leq m^2n +n^2m+4$(2)
Nếu cả 2 số $m,n$ cùng bằng 1 thì (1) thỏa mãn và $m^2+n^2=2$ cũng thỏa mãn.
Ngược lại, KMTTQ giả sử $m>1$
Ta viết lại (2) như sau
$n^2(m-1)+nm^2-m^2+4 \leq 0$
Xét $\Delta$ theo $n$ thì
$\Delta = m^4+4m^3-4m^2-16m+16 \leq 0$ Rõ ràng bất phương trình này vô nghiệm nguyên dương với $m>1$.
Vậy $m=n=1$ là nghiệm duy nhất.
Xử lí theo cách này có thể không dùng điều kiện nguyên tố.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh