Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm bộ số thỏa mãn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 thanhbui20

thanhbui20

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Đã gửi 07-12-2016 - 18:48

Tìm bộ các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$



#2 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 07-12-2016 - 22:19

$m^{3}+n^{3}-4\vdots m^{2}+n^{2} <=> (m+n)mn+4\vdots m^{2}+n^{2}$

$m^{3}+n^{3}-4+3mn(m+n)+12\vdots m^{2}+n^{2} => (m+n)^{3}-8\vdots m^{2}+n^{2}$

 => 2TH: 

            TH1 $m+n\vdots m^{2}+n^{2}$ Suy ra m=n=1 vì nếu m,n>1 ta dễ chứng minh $m^{2}+n^{2}$$>=m+n

            TH2: $2mn-2m-2n+4\vdots m^{2}+n^{2} => 2mn-2m-2n+4\geq m^{2}+n^{2} => 4+2mn>2mn-2m-2n+4>m^{2}+n^{2} => 4>(m-n)^{2}$

                       (dễ dàng tìm được m,n) 

Tìm bộ các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2001: 07-12-2016 - 22:21


#3 tay du ki

tay du ki

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 205 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-12-2016 - 22:25

$m^{3}+n^{3}-4\vdots m^{2}+n^{2} <=> (m+n)mn+4\vdots m^{2}+n^{2}$

$m^{3}+n^{3}-4+3mn(m+n)+12\vdots m^{2}+n^{2} => (m+n)^{3}-8\vdots m^{2}+n^{2}$

 => 2TH: 

            TH1 $m+n\vdots m^{2}+n^{2}$ Suy ra m=n=1 vì nếu m,n>1 ta dễ chứng minh $m^{2}+n^{2}$$>=m+n

            TH2: $2mn-2m-2n+4\vdots m^{2}+n^{2} => 2mn-2m-2n+4\geq m^{2}+n^{2} => 4+2mn>2mn-2m-2n+4>m^{2}+n^{2} => 4>(m-n)^{2}$

                       (dễ dàng tìm được m,n) 

đoạn màu đỏ vì sao lại được như vậy bạn 


      :ukliam2: Cố gắng trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới :ukliam2:  

 

 

#4 yeutoan2001

yeutoan2001

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết

Đã gửi 07-12-2016 - 22:39

đoạn màu đỏ vì sao lại được như vậy bạn 

Có $(m+n)^{3}-8\vdots m^{2}+n^{2} <=> (m+n)(m^{2}+n^{2}+2mn-2m-2n+4)\vdots m^{2}+n^{2}$

 DO $p=m^{2}+n^{2}$ là số nguyên tố đó  



#5 HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{A1-K52 THPT Đức Thọ}$ $\textrm{Hà Tĩnh}$
  • Sở thích:$\boxed{\boxed{{\color{green}\rightarrow}\boxed{\color{red}\bigstar}\boxed{\bf \mathfrak{{{\color{blue}{๖ۣۜMaths}}}}}\boxed{\color{red}\bigstar}{\color{green}\leftarrow }}}$

Đã gửi 08-12-2016 - 19:44

Tìm bộ các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$

Nhận thấy $m=n=1$ là $1$ nghiệm 
Ta có xét $m>1,n>1$ 
$m^3+n^3=(m+n)(m^2+n^2-mn)=(m+n)(p-mn) \Rightarrow mn(m+n)+4 \vdots p$ 
$\Rightarrow m^3+n^3+3mn(m+n)+8 \vdots p$ 
Hay $(m+n+2)(m^2+2mn+n^2-2m-2n+4) \vdots p$ 
TH1 : $m+n+2 \vdots p$ 
$m+n+2 \vdots m^2+n^2$
$\Leftrightarrow m^2+n^2=m+n+2$...
TH2 : $2mn-2m-2n+4 \vdots p=m^2+n^2$ 
Mầ $2mn-2m-2n+4<2mn-2-2+4 \le m^2+n^2$ 
$\Leftrightarrow 2mn-2m-2n+4=0$...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 08-12-2016 - 19:45


#6 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 12-12-2016 - 11:28

Ta có
$m^2+n^2|(m^2+n^2)(m+n)-mn(m+n)-4$ nên $m^2+n^2|mn(m+n)+4$(1)
Từ đó $m^2+n^2 \leq m^2n +n^2m+4$(2)
Nếu cả 2 số $m,n$ cùng bằng 1 thì (1) thỏa mãn và $m^2+n^2=2$ cũng thỏa mãn.
Ngược lại, KMTTQ giả sử $m>1$
Ta viết lại (2) như sau
$n^2(m-1)+nm^2-m^2+4 \leq 0$
Xét $\Delta$ theo $n$ thì
$\Delta = m^4+4m^3-4m^2-16m+16 \leq 0$ Rõ ràng bất phương trình này vô nghiệm nguyên dương với $m>1$.
Vậy $m=n=1$ là nghiệm duy nhất.
Xử lí theo cách này có thể không dùng điều kiện nguyên tố.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh