Chủ đề này có 1 trả lời

[Bui Ba Anh]

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét các điểm $(a;b)$ thỏa $a,b$ đều nguyên và $1 \leq a \leq 12$ và $1 \leq b \leq 10$. Các điểm này được tô bởi một trong ba màu khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ nhật có các đỉnh là các đỉnh đang xét, các cạnh song song với các trục tọa độ và các đỉnh tô cùng màu.

[JUV]

Tồn tại $1$ màu sao cho màu đó tô ít nhất $40$ điểm. Gọi $a_1,a_2,...,a_{12}$ là số điểm được tô màu đó trên $12$ đường $x=i$ với $i=\overline{1,12}$. Số cặp điểm cùng màu đã chọn là $\binom{a_i}{2}=\frac{(a_i-1)a_i}{2}$ $\forall i=\overline{1,12}$. Tổng trên cả bảng có $\frac{\sum_{i=1}^{12}a_i^2-a_i}{2}\geq \frac{\frac{40^2}{12}-40}{2}> 46$ cặp điểm cùng màu được chọn và cùng cột. Có $\binom{10}{2}= 45$ cách chọn ra $2$ số nguyên khác nhau thuộc đoạn $\left [ 1;10 \right ]$ nên tồn tại $2$ cặp điểm cùng màu được chọn và cùng cột $(A_1,B_1),(A_2,B_2)$ sao cho tung độ $A_1=A_2$, tung độ $B_1=B_2$ . $A_1B_1B_2A_2$ là hình chữ nhật cần tìm.