Tìm tất cả các hàm số $f: N^*-->N^*$ sao cho
$f(m+f(n))=n+f(m+1),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}$
Tìm tất cả các hàm số $f: N^*-->N^*$ sao cho
$f(m+f(n))=n+f(m+1),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}$
I love Math forever...
Math is my life...
Fighting ^^
Don't Lazy, my girl...
Tìm tất cả các hàm số $f: N^*-->N^*$ sao cho
$f(m+f(n))=n+f(m+1),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}$
Cố định $ m$, giả sử có $ f(n_1)=f(n_2)$, ta có $ f(m+f(n_1))=f(m+f(n_2)) \implies n_1+f(m+1)=n_2+f(m+1) \implies n_1=n_2 $, nên $ f$ đơn ánh.
Thay $ m$ bởi $ f(1)$ ta được
$ f(f(n)+f(1))=n+f(f(1)+1)=n+1+f(1+1)=f(f(n+1)+1) \forall n \in \mathbb{N}^*$
Do $ f$ đơn ánh nên $ f(n)+f(1)=f(n+1)+1$
$ \implies f(n)-f(n-1)=...=f(2)-f(1)=f(1)-1=c \implies f(n)-1=nc \implies f(n)=nc+1 \forall n \in \mathbb{N}^* $
Thay $f(n)=nc+1 $ vào phương trình ban đầu ta tìm được $ c=1$, vậy$ f(n)=n+1 \forall n \in \mathbb{N}^* $
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh