Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $S(n)$ là số các cặp sắp thứ tự $(x;y)$ nguyên dương thoả mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$. Hãy tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=5$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$
#1
Đã gửi 17-12-2016 - 22:34
#2
Đã gửi 18-12-2016 - 01:11
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $S(n)$ là số các cặp sắp thứ tự $(x;y)$ nguyên dương thoả mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$. Hãy tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $S(n)=5$
Phương trình đã cho tương đương với :
$$(x-n)(y-n)=n^2$$.
Giả sử $n=p_{1}^{a_{1}}.p_{2}^{a_{2}}...p_{n}^{a_{n}}$.
Thay vào lại phương trình : $$(x-n)(y-n)=p_{1}^{2a_{1}}.p_{2}^{2a_{2}}...p_{n}^{2a_{n}}$$
Nhận xét : Phương trình $ab=n$ có số nghiệm là số ước của $n$.
Mặt khác ta có số ước của $n^2$ được tính bằng : $$(2a_{1}+1)(2a_{2}+1)...(2a_{n}+1)$$
$$\Rightarrow (2a_{1}+1)(2a_{2}+1)...(2a_{n}+1)=5$$
$$\Leftrightarrow a_{1}=2, a_{2}=a_{3}=...=a_{n}=0$$
Vậy thì ta có $n=p^2$ với $p$ là một số nguyên tố thì thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 18-12-2016 - 12:36
- tpdtthltvp và Element hero Neos thích
#3
Đã gửi 18-12-2016 - 08:21
Phương trình đã cho tương đương với :
$$(x-n)(y-n)=n^2$$.
Giả sử $n=p_{1}^{a_{1}}.p_{2}^{a_{2}}...p_{n}^{a_{n}}$.
Thay vào lại phương trình : $$(x-n)(y-n)=p_{1}^{2a_{1}}.p_{2}^{2a_{2}}...p_{n}^{2a_{n}}$$
Nhận xét : Phương trình $ab=n$ có số nghiệm là số ước của $n$.
Mặt khác ta có số ước của $n^2$ được tính bằng : $$(2a_{1}+1)(2a_{2}+1)...(2a_{n}+1)$$
$$\Rightarrow (2a_{1}+1)(2a_{2}+1)...(2a_{n}+1)=5$$
$$\Leftrightarrow a_{1}=2, a_{2}=a_{3}=...=a_{n}=0$$
Vậy thì ta có $n=2$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Có nhầm không nhỉ?
Nếu $a_{1}=2$ thì suy ra n là số chính phương chứ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 18-12-2016 - 08:57
#4
Đã gửi 18-12-2016 - 12:36
Có nhầm không nhỉ?
Nếu $a_{1}=2$ thì suy ra n là số chính phương chứ?
Nhầm lẫn tí. Đã fix
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh