Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhnam2000]

Bài Hình Đề thi chọn HSG Hải Phòng bảng chuyên.

Cho tam giác nhọn $ABC$, $(AB<AC)$ nội tiếp $(O)$. Hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Một điểm $M$ di chuyển trên đoạn thẳng $AB$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$ vuông gọc với $AC$ cắt $AO$ tại $I$; $IH$ cắt $CM$ tại $D$; $BD$ cắt $AC$ tại $N$; $AD$ cắt $BC$ tại $P$. Gọi $X$ là trung điểm của $BC$. CHứng minh rằng $MPXN$ nội tiếp.

Hình gửi kèm

• 

[anhquannbk]

Gọi $ K $ là giao điểm của $ MN$ và $ BC$.

Ta có $ (KPBC)=-1$, $ X$ là trung điểm $ BC$

$\implies KB.KC=KX.KP$

Gọi $ S$ là giao điểm của $ MN$ và $ EF$.

Áp dụng định lý $ Pappus$ cho bộ $ \begin{pmatrix} B& F & M\\ C & E & N \end{pmatrix} $ ta được $ H, D, S$ thẳng hàng.

Mà $ H, D, I$ thẳng hàng nên $ H, S, I$ thẳng hàng.

Áp dụng định lý $ Desargues$ $ \bigtriangleup HEF$ và $ \bigtriangleup IMN$ ta có:

$ IH, EM, FN$ đồng quy nên $ IM \cap HE, HF \cap IN, EF \cap MN$ thẳng hàng.

Mà $ IM \parallel HE$, $AH, AO$ đẳng giác trong $ \angle BAC$

nên $ IN \parallel HF,MN \parallel EF  $

$ \implies \angle AMN =\angle AFE =\angle ACB $

$ \implies BMNC$ nội tiếp. $\implies KB.KC=KM.KN$

Suy ra $ KM.KN=KX.KP$ $ \implies MNXP $ nội tiếp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 18-12-2016 - 21:11