Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhmylam]

1)Tìm số tự nhiên x,y biết $5^{x}+12^{x}=y^{2}$ 

2) c/m ($2+\sqrt{3})^{2016}+(2-\sqrt{3})^{2016}$ là số chẵn

[I Love MC]

1) $x=0 \Rightarrow $ ko có $y$ 
$x>0$ ta có $VT \equiv 2^x \pmod{3} \Rightarrow x$ chẵn . Từ đó đặt $x=2k,k \in \mathbb{N^*}$ 
PT $\Leftrightarrow 5^{2k}=(y-12^k)(y+12^k)$ 
Suy ra $y-12^k=5^a,y+12^k=5^b \Rightarrow 2.12^k=5^b-5^a=5^a(5^{b-a}-1)$ 
Nếu $a \ge 1 \Rightarrow 2.12^k \vdots 5$ (vô lí) suy ra $a=0 \Rightarrow y=12^k+1$ 
Từ đó ta có $5^{2k}+12^{2k}=12^{2k}+2.12^k+1 \Rightarrow 5^{2k}=2.12^k+1  \Rightarrow k=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 19-12-2016 - 21:11

[Element hero Neos]

1) $x=0 \Rightarrow $ ko có $y$ 
$x>0$ ta có $VT \equiv 2^x \pmod{3} \Rightarrow x$ chẵn . Từ đó đặt $x=2k,k \in \mathbb{N^*}$ 
PT $\Leftrightarrow 5^{2k}=(y-12^k)(y+12^k)$ 
Suy ra $y-12^k=5^a,y+12^k=5^b \Rightarrow 2.12^k=5^b-5^a=5^a(5^{b-a}-1)$ 
Nếu $a \ge 1 \Rightarrow 2.12^k \vdots 5$ (vô lí) suy ra $a=0 \Rightarrow y=12^k+1$ 
Từ đó ta có $5^{2k}+12^{2k}=12^{2k}+2.12^k+1 \Rightarrow 5^{12k}=2.12^k+1 
Mà dĩ nhiên $5^{12k}=25^{6k}>12^{6k}>2.12^k+1$ nên ta có phương trình vô nghiệm. 

Phương trình có nghiệm $(x;y)=(2;13)$

[doremon01]

Bài 2:

Đặt $a=2+\sqrt{3}; b=2-\sqrt{3}\rightarrow ab=1;a+b=4;a^2+b^2=14$

Với n chẵn, $n\geq 4$ ta có: $S_n=a^n+b^n=(a^{n-2}+b^{n-2})(a^2+b^2)-a^2b^2(a^{n-4}+b^{n-4}) =14(a^{n-2}+b^{n-2})-(a^{n-4}+b^{n-4})=14S_{n-2}-S_{n-4}$

Tính được $S_0=2;S_4=194$$\rightarrow S_8;S_{12};...;S_{4k};,,,;S_{2016}$ là các số chẵn