Chủ đề này có 2 trả lời

[baybay1]

Cho a, b là các số dương thỏa mãn  $ a^3 + b^3=a^5+b^5$

a) Chứng minh rằng: $a^5  + b^5  \ge ab(a + b)$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $P = a^2  + b^2  - ab$

 

 

[Element hero Neos]

 

Cho a, b là các số dương thỏa mãn  $ a^3 + b^3=a^5+b^5$

a) Chứng minh rằng: $a^5  + b^5  \ge ab(a + b)$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $P = a^2  + b^2  - ab$

 

a)

Ta có

$a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2\geq0$

Do đó

$a^5+b^5=a^3+b^3\geq ab(a+b)$

b)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 21-12-2016 - 20:17

[Oreki1101]

 

Cho a, b là các số dương thỏa mãn  $ a^3 + b^3=a^5+b^5$

a) Chứng minh rằng: $a^5  + b^5  \ge ab(a + b)$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $P = a^2  + b^2  - ab$

 

b) $a^3+b^3=a^5+b^5 \leftrightarrow a^2-ab+b^2=a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4 \leftrightarrow a^2-ab+b^2=(a^2-ab+b^2)^2+a^3b+ab^3-2a^2b^2 \leftrightarrow P(1-P)=ab(a-b)^2$

$P=(a-\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2 \geq 0$ mà vế phải không âm

$\leftrightarrow 1-P \geq 0$

$\leftrightarrow  P max=1$ khi vế trái=vế phải=0 suy ra a=b=1