Tìm số nguyên tố p để $\frac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương của 1 số tự nhiên
Ta đặt $\frac{p^{2}-p-2}{2}=m^{3}, m\in \mathbb{N}.$
Suy ra $p^{2}-p-2=2m^{3}\Leftrightarrow p(p-1)=2(m^{3}+1)\Leftrightarrow p(p-1)=2(m+1)(m^{2}-m+1).$
+Nếu $p=2$ thì $m=0.$
+Nếu $p> 2$ thì $p$ lẻ và từ giả thiết suy ra $p$ là ước của $m+1$ hoặc $p$ là ước của $m^{2}-m+1.$
TH1: $p$ là ước của $m+1,$ do $m< p$ nên $p=m+1,$ thay vào phương trình $p(p-1)=2(m+1)(m^{2}-m+1)$ ta được phương trình $2m^{2}-3m+2=0,$ phương trình này vô nghiệm.
TH2: $p$ là ước của $m^{2}-m+1$ thì ta đặt $m^{2}-m+1=kp,$ thay vào phương trình $p(p-1)=2(m+1)(m^{2}-m+1)$ ta được $p-1=2k(m+1)$ $\Leftrightarrow p=2k(m+1)+1,$ thế vào phương trình $m^{2}-m+1=kp$ ta được $m^{2}-(2k^{2}+1)m+1-k-2k^{2}=0$
Ta có $\triangle _{m}=(2k^{2}+1)^{2}-4(1-k-2k^{2})=4k^{4}+4k^{2}+1-4+4k+8k^{2}=4k^{4}+12k^{2}+4k-3.$ Ta cần tìm $k$ để $\triangle _{m}$ là một số chính phương. Vì $k$ nguyên dương nên $k\geq 1,$ từ đây ta có đánh giá sau $(2k^{2}+2)^{2}< 4k^{4}+12k^{2}+4k-3< (2k^{2}+4)^{2}.$ Từ đây suy ra $4k^{4}+12k^{3}+4k-3=(2k^{2}+3)^{2}\Leftrightarrow 4k^{4}+12k^{2}+4k-3=4k^{4}+12k^{2}+9\Leftrightarrow 4k-3=9\Leftrightarrow k=3.$ Thế $k=3$ vào phương trình $m^{2}-(2k^{2}+1)m+1-k-2k^{2}=0$ $\Leftrightarrow m^{2}-19m-20=0,$ giải ra ta được nghiệm $m=20$ (nhận) và $m=-1$ (loại). Thay $m=20$ vào phương trình $p^{2}-p-2=2m^{3}$ ta tìm được $p=127.$ Vậy các số nguyên tố $p$ thỏa phương trình là $p=2, p=127.$