Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{a+b+c}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
hoangquochung3042002

hoangquochung3042002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 185 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR  ta  có  BĐT:

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^3}{b^2+bc+c^2} +\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquochung3042002: 22-12-2016 - 19:20


#2
Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR  ta  có  BĐT:

$\frac{a^2}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^2}{b^2+bc+c^2} +\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}.$

BĐT bị ngược dấu rồi bạn ơi :D



#3
hoangquochung3042002

hoangquochung3042002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 185 Bài viết

BĐT bị ngược dấu rồi bạn ơi :D

nếu v bạn giải thử.



#4
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Theo mình thì đề bài đúng phải là:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.CMR:$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$

Đây là lời giải của mình:

Ta sẽ có bổ đề:$\sum \frac{a^2-b^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0$

Thật vậy,bổ đề <=>$\sum \frac{(a+b)(a-b)^2}{a^3-b^3}\geq 0$ (Đúng theo tiêu chuẩn 2 định lý S.O.S) (Hiển nhiên dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ nên ta chỉ xét trường hợp $a-b$;$b-c$;$c-a$ khác 0)

Từ bổ đề=>$\sum \frac{2a^2}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2}=\sum 1-\frac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \sum 1-\frac{ab}{3ab}\geq 2$

=>$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$ (Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 22-12-2016 - 19:57


#5
hoangquochung3042002

hoangquochung3042002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 185 Bài viết

Theo mình thì đề bài đúng phải là:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.CMR:$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$

Đây là lời giải của mình:

Ta sẽ có bổ đề:$\sum \frac{a^2-b^2}{a^2+ab+b^2}\geq 0$

Thật vậy,bổ đề <=>$\sum \frac{(a+b)(a-b)^2}{a^3-b^3}\geq 0$ (Đúng theo tiêu chuẩn 2 định lý S.O.S) (Hiển nhiên $a=b=c$ là dấu bằng nên ta không cần quan tâm đến việc $a-b=b-c=c-a=0$

Từ bổ đề=>$\sum \frac{2a^2}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2}=\sum 1-\frac{ab}{a^2+ab+b^2}\geq \sum 1-\frac{ab}{3ab}\geq 2$

=>$\sum \frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$ (Q.E.D)

đề là mũ 3 mà bạn.à à... vậy là do các bạn nhìn nhầm ở phần tiêu đề á.máy nó sắp nhầm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquochung3042002: 22-12-2016 - 19:27


#6
hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết

Lần sau up bài thì up cho cẩn thận nhé bạn =.=

Lời giải: $\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum a-\frac{a^2b+b^2a}{a^2+ab+b^2}\geq \sum a-\frac{a^2b+b^2a}{3ab}=\sum a-\frac{a+b}{3}=\sum \frac{a}{3}$ (Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 22-12-2016 - 19:38


#7
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Vậy tham khảo ở đây: http://diendantoanho...a2geq-fracabc3/

Kết hợp với: $\frac{1}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{2a^2-ab+2b^2}$.


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#8
hoangquochung3042002

hoangquochung3042002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 185 Bài viết

cảm ơn nhiều. các bạn khác nếu còn cách giải nào dễ hiểu, ngắn gọn vẫn cứ làm thử nhé. để cho có phần sôi động, mở rộng vấn đề, và thảo luận chung trong diễn đàn :D  :D  :D.



#9
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Ta có $\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} = \sum \frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$ do $\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} - \sum \frac{b^3}{b^2+ab+a^2} = \sum a-b = 0$

Vậy ta cần chứng minh $\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{2(a+b+c)}{3}$

Then BĐT Bunhiakovski ta có $(a^3+b^3)$ $\geq$ $\frac{(a^2+b^2)^2}{a+b}$ $= \frac{\frac{3a^2+3b^2}{3}.\frac{2(a^2+b^2)}{2}}{a+b} \geq \frac{\frac{2(a^2+ab+b^2)}{3}.(a+b)^2}{2(a+b)} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a+b)}{3}$

Từ đây ta có $\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a+b}{3}$. Cộng 3 bất đẳng thức với nhau ta có điều cần chứng minh



#10
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết

đoạn đầu của mình khá giống bạn trên

Hình gửi kèm

  • 15322406_663902163783035_116215230_o.png

Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#11
hoangquochung3042002

hoangquochung3042002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 185 Bài viết

cảm ơn các bạn rất nhiều, các bạn đúng thật rất giỏi. các bạn khác nếu có cách giải khác thì vẫn nêu ra để cùng trao đổi kinh nghiệm nhé :D  :D  :D.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquochung3042002: 23-12-2016 - 12:14





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh