Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Chứng minh rằng, với số tự nhiên $n$ bất kì đều tồn tại hai số nguyên $x, y$ thỏa $x^{2}-34y^{2}+1$ $\vdots$ $n.$

[manhtuan00]

Giả sử $n = \prod p_i^{\alpha_i}$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố

Ta chứng minh tồn tại $x,y$ để $p_i^{\alpha_i}$ $|$ $(x^2-34y^2+1)$

Thật vậy ,ta có : $x^2-34y^2+1 = (x-5y)(x+5y) -(3y-1)(3y+1)$

Nếu $p_i \neq 3$,ta chỉ cần chọn $3y \equiv 1 (\text{mod} (p_i^{\alpha_i}))$ và $x \equiv 5y (\text{mod} p_i^{\alpha_i})$ Khi đó ta có $p_i^{\alpha_i}$ $|$ $(x^2-34y^2+1)$

Nếu $p_i = 3$

Ta sẽ chứng minh điều sau bằng quy nạp : Với mọi số tự nhiên $n$, tồn tại cặp số $x,y$ để $x^2-34y^2+1$ $\vdots$ $3^k$

Với $n=1$ điều trên đúng vì ta chỉ cần chọn $x =3, y = 1$

Giả sử đúng với $n = k$, ta chứng minh đúng với $n = k+1$

Giả sử $x_0^2-34y_0^2 +1 = 3^k . m$

Nếu $m$ $\vdots$ $3$ ta có điều cần chứng minh 

Nếu $(3,m) = 1$

Dễ thấy $x_0,y_0$ không cùng chia hết cho $3$ nên tồn tại các số tự nhiên $s,t$ để $m+2sx_0-68ty_0$ $\vdots$ $3$

Khi đó, ta chọn $X = x_0+3^ks, Y = y_0+3^k.t$

$\implies X^2-34Y^2+1$ $= (x_0^2-34y_0^2+1)$ $+3^k(2s.x_0-68ty_0)+3^{2k}.s^2+34.3^{2k}t^2 = 3^k(2s.x_0-68ty_0+m)+3^{2k}.s^2+34.3^{2k}t^2$ $\vdots$ $3^{k+1}$ 

Vậy điều cần chứng minh là đúng

Tức là với mọi $p_i$ nguyên tố, tồn tại $x,y$ để $p_i^{\alpha_i}$ $|$ $(x^2-34y^2+1)$

Giả sử $p_i^{\alpha_i}$ $|$ $(x_i^2-34y_i^2+1)$

Sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa chọn $X \equiv x_i (\text{mod} p_i)$ và $Y \equiv y_i (\text{mod} p_i) \forall i$

Khi đó $X^2 - 34Y^2+1$ $\vdots$ $n$. Ta có điều cần chứng minh