Chủ đề này có 3 trả lời

[Zeref]

Cho $a,b,c$ là các số thực thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm Min của $P=ab+bc+2ac$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 23-12-2016 - 11:18

[doremon01]

$ab=(-1+\sqrt{3})a.b.\frac{1+\sqrt{3}}{2}\leq \frac{(-1+\sqrt{3})^2.a^2+b^2}{2}.\frac{1+\sqrt{3}}{2}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}.a^2+b^2.\frac{1+\sqrt{3}}{4}$

$cb=(-1+\sqrt{3})c.b.\frac{1+\sqrt{3}}{2}\leq \frac{(-1+\sqrt{3})^2.c^2+b^2}{2}.\frac{1+\sqrt{3}}{2}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}.c^2+b^2.\frac{1+\sqrt{3}}{4}$

$2ac\leq a^2+b^2$

Suy ra:

$P\leq (\frac{1+\sqrt{3}}{4})(a^2+b^2+c^2)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Dấu"=" xảy ra khi $a=c=\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}{12}};b=(-1+\sqrt{3})\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}{12}}$

[sharker]

 

$ab=(-1+\sqrt{3})a.b.\frac{1+\sqrt{3}}{2}\leq \frac{(-1+\sqrt{3})^2.a^2+b^2}{2}.\frac{1+\sqrt{3}}{2}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}.a^2+b^2.\frac{1+\sqrt{3}}{4}$

$cb=(-1+\sqrt{3})c.b.\frac{1+\sqrt{3}}{2}\leq \frac{(-1+\sqrt{3})^2.c^2+b^2}{2}.\frac{1+\sqrt{3}}{2}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}.c^2+b^2.\frac{1+\sqrt{3}}{4}$

$2ac\leq a^2+b^2$

Suy ra:

$P\leq (\frac{1+\sqrt{3}}{4})(a^2+b^2+c^2)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Dấu"=" xảy ra khi $a=c=\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}{12}};b=(-1+\sqrt{3})\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}{12}}$

 

Hình như đề bài yêu cầu tìm min 

[sharker]

$P+1=a^2+b^2+c^2+ab+bc+2ac=b^2+b(a+c)+(a+c)^2=(b+\frac{a+c}{2})^2+\frac{3(a+c)^2}{4}\geq 0$

$\Leftrightarrow P \Leftrightarrow -1$

''='' khi $a=\frac{1}{\sqrt{2}};b=0;c=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 23-12-2016 - 13:24