Chủ đề này có 4 trả lời

[ecchi123]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ , $E,F$ là trung điểm $AC,AB$  ,  Phân giác trong góc $A$ cắt $EF$ tại $T$  , Giả sử đường tròn đường kính $AB,AC$ lần lượt cắt đoạn  $TC,TB$ tại $M,N$ , $I$ là tâm ngoại tam giác $AMN$ , CMR $O,I,T$ thẳng hàng

[lehakhiem212]

$(AMN)$ cắt (O) tại V.

Đề chứng minh O,I,T thẳng hàng thì ta chứng minh OT vuông góc AV.

Phân giác góc A cắt BC tại D, cắt (O) tại P.

 Tam giác ABD ~ tam giác APC (g.g), mà AD=2AT, AC=2AE, nên tam giác ATB ~ tam giác AEP (c.g.c) 

Suy ra góc ABT = góc APE , suy ra BT, PE cắt nhau tại S trên (O).

Ta có góc BSP= góc CSP, NE=CE, nên SE là đường trung trực của NC. Suy ra PN=PC

Nên N thuộc (P;PB).Tương tự M thuộc đường tròn trên

Suy ra MNBC nội tiếp.

theo tính chất về 3 đường trục đẳng phương thì MN, BC, AV đồng quy tại K.

Gọi U là giao điểm NC và BM

UN.UC=UM.UB nên U thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn tâm E,F, tức là U thuộc đường cao AH (H thuộc BC)

Ta có A,M,N,V,U cùng thuộc một đường tròn, suy ra góc UVA= góc ANU=90, nên UV vuông góc AK (1)

Mặt khác, theo định lý Brokard thì U là trực tâm tam giác KPT. suy ra KU vuông góc AD. nên U là trực tâm tam giác AKD.

Suy ra DU vuông góc AK (2)

từ (1), (2) suy ra D,U,V thẳng hàng 

tam giác DVA vuông ở V có T là trung điểm AD nên VT= TA. Suy ra  OT là trung trực AV. Suy ra OT vuông góc AV

Suy ra đpcm

(nhìn dài quá, có ai giải ngắn hơn không)

[ecchi123]

$(AMN)$ cắt (O) tại V.

Đề chứng minh O,I,T thẳng hàng thì ta chứng minh OT vuông góc AV.

Phân giác góc A cắt BC tại D, cắt (O) tại P.

 Tam giác ABD ~ tam giác APC (g.g), mà AD=2AT, AC=2AE, nên tam giác ATB ~ tam giác AEP (c.g.c) 

Suy ra góc ABT = góc APE , suy ra BT, PE cắt nhau tại S trên (O).

Ta có góc BSP= góc CSP, NE=CE, nên SE là đường trung trực của NC. Suy ra PN=PC

Nên N thuộc (P;PB).Tương tự M thuộc đường tròn trên

Suy ra MNBC nội tiếp.

theo tính chất về 3 đường trục đẳng phương thì MN, BC, AV đồng quy tại K.

Gọi U là giao điểm NC và BM

UN.UC=UM.UB nên U thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn tâm E,F, tức là U thuộc đường cao AH (H thuộc BC)

Ta có A,M,N,V,U cùng thuộc một đường tròn, suy ra góc UVA= góc ANU=90, nên UV vuông góc AK (1)

Mặt khác, theo định lý Brokard thì U là trực tâm tam giác KPT. suy ra KU vuông góc AD. nên U là trực tâm tam giác AKD.

Suy ra DU vuông góc AK (2)

từ (1), (2) suy ra D,U,V thẳng hàng 

tam giác DVA vuông ở V có T là trung điểm AD nên VT= TA. Suy ra  OT là trung trực AV. Suy ra OT vuông góc AV

Suy ra đpcm

(nhìn dài quá, có ai giải ngắn hơn không)

cách hay lắm bạn .   bài này thầy mình tạo ra từ bài IMOshortlist 2013 bằng cách nghịch đảo ( mình nghĩ cách này ko tự nhiên để nghĩ ra dc nên mình muốn tìm hiểu cách sơ cấp hơn )    

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 27-12-2016 - 18:19

[dangkhuong]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ , $E,F$ là trung điểm $AC,AB$  ,  Phân giác trong góc $A$ cắt $EF$ tại $T$  , Giả sử đường tròn đường kính $AB,AC$ lần lượt cắt đoạn  $TC,TB$ tại $M,N$ , $I$ là tâm ngoại tam giác $AMN$ , CMR $O,I,T$ thẳng hàng

Nghịch đảo tâm A tỉ số AB.AC/2 hợp với phép đối xứng qua phân giác góc A đưa về bài toán quen thuộc với đường tròn Euler

[ecchi123]

Hé hé , thầy mình cũng bảo với mình như vậy       

 

Nghịch đảo tâm A tỉ số AB.AC/2 hợp với phép đối xứng qua phân giác góc A đưa về bài toán quen thuộc với đường tròn Euler