Chủ đề này có 6 trả lời

[Nguyenphuctang]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}$

Nguyễn Phúc Tăng

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}$

Nguyễn Phúc Tăng

Sử dụng bất đẳng thức phụ sau: $m^{2}+n^{2}\geq 2mn.$

Ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}+6bc}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}+6ca}\geq \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+3(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}+3(b^{2}+c^{2})}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}+3(c^{2}+a^{2})}=\frac{1}{4}\left ( \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}} +\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}} \right ).$

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}.$

$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}=\frac{a(a^{2}+b^{2})-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b(b^{2}+c^{2})-bc^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c(c^{2}+a^{2})-ca^{2}}{c^{2}+a^{2}}=(a+b+c)-\left ( \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca^{2}}{c^{2}+a^{2}} \right )\geq (a+b+c)-(\frac{ab^{2}}{2ab}+\frac{bc^{2}}{2bc}+\frac{ca^{2}}{2ca})=(a+b+c)-\frac{(a+b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}.$( Kĩ thuật $Cauchy$ ngược dấu ). Từ đây dễ dàng suy ra $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}.$

[royal1534]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}$

Nguyễn Phúc Tăng

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có :

$\sum \frac{a^3}{a^2+b^2+6ab} \geq \frac{(a+b+c)^3}{6(\sum a^2+\sum 3ab)} \geq \frac{(a+b+c)^3}{8(a+b+c)^2}=\frac{a+b+c}{8}$

Q.E.D...

[Nguyenphuctang]

Sử dụng bất đẳng thức phụ sau: $m^{2}+n^{2}\geq 2mn.$
Ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}+6bc}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}+6ca}\geq \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+3(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}+3(b^{2}+c^{2})}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}+3(c^{2}+a^{2})}=\frac{1}{4}\left ( \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}} +\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}} \right ).$
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}.$
$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}}=\frac{a(a^{2}+b^{2})-ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b(b^{2}+c^{2})-bc^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c(c^{2}+a^{2})-ca^{2}}{c^{2}+a^{2}}=(a+b+c)-\left ( \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca^{2}}{c^{2}+a^{2}} \right )\geq (a+b+c)-(\frac{ab^{2}}{2ab}+\frac{bc^{2}}{2bc}+\frac{ca^{2}}{2ca})=(a+b+c)-\frac{(a+b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}.$( Kĩ thuật $Cauchy$ ngược dấu ). Từ đây dễ dàng suy ra $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}.$

Dài mà hay tuy nhiên có thể làm giống bạn Royal hoặc sử dụng bô đề belarus 2000 mình onl = iPad nên k gõ latex dc

[Zz Isaac Newton Zz]

Anh có thể cho em xin đề bài bất đẳng thức Belarus 2000 được không ạ...

[Nguyenhuyen_AG]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+6ab}\geq \frac{a+b+c}{8}$

Nguyễn Phúc Tăng

 

Chú ý rằng $a^2+6ab+b^2 = (a+b)^2 + 4ab \leqslant 2(a+b)^2.$ Do đó ta chỉ cần chứng minh

\[\sum \frac{a^3}{(a+b)^2} \geqslant \frac{a+b+c}{4},\]

hay là

\[\sum \left[\frac{a^3}{(a+b)^2} +\frac{a+b}{8}+\frac{a+b}{8} - \frac{3a}{4}\right] \geqslant 0.\]

hoặc

\[\sum \frac{(2a+b)(a-b)^2}{4(a+b)^2} \geqslant 0.\]

[tdngvif]

Chú ý rằng $a^2+6ab+b^2 = (a+b)^2 + 4ab \leqslant 2(a+b)^2.$ Do đó ta chỉ cần chứng minh

\[\sum \frac{a^3}{(a+b)^2} \geqslant \frac{a+b+c}{4},\]

hay là

\[\sum \left[\frac{a^3}{(a+b)^2} +\frac{a+b}{8}+\frac{a+b}{8} - \frac{3a}{4}\right] \geqslant 0.\]

hoặc

\[\sum \frac{(2a+b)(a-b)^2}{4(a+b)^2} \geqslant 0.\]

Chắc phải có những bài chặt chẽ hơn như

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tdngvif: 27-12-2016 - 03:33