Chủ đề này có 1 trả lời

[01634908884]

Cho hàm số $f$ thỏa mãn:

i)$f\left ( n+2 \right)=f\left ( n+1 \right )+f\left ( n \right ),\forall n\in\mathbb{N}^{*};$

ii)$f\left ( 2 \right )=f\left ( 1 \right )=1.$

Chứng minh $f\left ( 2010 \right) \vdots 10.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 30-01-2017 - 09:46

[doremon01]

https://vi.wikipedia...i/Dãy_Fibonacci

 

Đặt $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2};y=\frac{1-\sqrt{5}}{2};$

Khi đó: 

$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}(x^n-y^n)$

Ta sẽ chứng minh $f(15k)=\frac{1}{\sqrt{5}}(x^{15k}-y^{15k})\vdots10,\forall k \in \mathbb N^*$ (*)

Kiểm tra thấy (*) đúng tới $k=1;k=2$ 

Giả sử (*) đúng tới $k=1,2,...,k-1,k$

Cần chứng minh (*) đúng tới $k=k+1$

Thật vậy: 

$f(15(k+1))=\frac{1}{\sqrt{5}}(x^{15k+15}-y^{15k+15})=\frac{1}{\sqrt{5}}[(x^{15k}-y^{15k})(x^{15}+y^{15})+x^{15}y^{15k}-x^{15k}y^{15}]=\frac{1}{\sqrt{5}}[(x^{15k}-y^{15k})(x^{15}+y^{15})-x^{15}y^{15}(x^{15(k-1)}-y^{15(k-1)})]=[1364.f(15k)+f(15(k-1))]\vdots 10$

 

Do $2015 \vdots 15$ nên $f(2015) \vdots 10$

 

Cách này trâu bò