https://vi.wikipedia...i/Dãy_Fibonacci
Đặt $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2};y=\frac{1-\sqrt{5}}{2};$
Khi đó:
$f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}(x^n-y^n)$
Ta sẽ chứng minh $f(15k)=\frac{1}{\sqrt{5}}(x^{15k}-y^{15k})\vdots10,\forall k \in \mathbb N^*$ (*)
Kiểm tra thấy (*) đúng tới $k=1;k=2$
Giả sử (*) đúng tới $k=1,2,...,k-1,k$
Cần chứng minh (*) đúng tới $k=k+1$
Thật vậy:
$f(15(k+1))=\frac{1}{\sqrt{5}}(x^{15k+15}-y^{15k+15})=\frac{1}{\sqrt{5}}[(x^{15k}-y^{15k})(x^{15}+y^{15})+x^{15}y^{15k}-x^{15k}y^{15}]=\frac{1}{\sqrt{5}}[(x^{15k}-y^{15k})(x^{15}+y^{15})-x^{15}y^{15}(x^{15(k-1)}-y^{15(k-1)})]=[1364.f(15k)+f(15(k-1))]\vdots 10$
Do $2015 \vdots 15$ nên $f(2015) \vdots 10$