Cho dãy số $\left(u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2017 & \\ u_{n+1}=u_{n}\left(\sqrt{u_{n}}+1 \right)^{2} \end{matrix}\right.$. Đặt $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$. Tính $limS_{n} $
Tính giới hạn của tổng $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$
#1
Đã gửi 28-12-2016 - 17:45
#2
Đã gửi 31-12-2016 - 01:35
Cho dãy số $\left(u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2017 & \\ u_{n+1}=u_{n}\left(\sqrt{u_{n}}+1 \right)^{2} \end{matrix}\right.$. Đặt $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$. Tính $limS_{n} $
Dễ thấy $u_n>0$ và $(u_n)$ là dãy tăng.
Giả sử $(u_n)$ hội tụ, tức là tồn tại $a=lim u_n$
Khi đó: $a=a(\sqrt{a}+1)^{2}\Leftrightarrow a=0$ (loại vì $a<u_1<...<u_n$
Ta có: $u_{n+1}=u_n(\sqrt{u_n}+1)^{2}\Leftrightarrow \sqrt{u_{n+1}}=\sqrt{u_{n}}(\sqrt{u_n}+1)\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\frac{1}{\sqrt{u_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n}+1}}$
Do đó: $S_n=\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{2017}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}$
$\Rightarrow limS_n=\frac{1}{\sqrt{2017}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 01-01-2017 - 21:43
- giomua và tritanngo99 thích
Success doesn't come to you. You come to it.
#3
Đã gửi 31-12-2016 - 16:41
Cho em hỏi có quy tắc nào để tách mỗi hạng tử của tổng thành hiệu của hai hạng tử không ạ
#4
Đã gửi 31-12-2016 - 16:43
$\frac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\frac{1}{\sqrt{u_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}$
Cho em hỏi có quy tắc nào để tách mỗi hạng tử của tổng thành hiệu của hai hạng tử không ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi giomua: 31-12-2016 - 16:44
#5
Đã gửi 01-01-2017 - 21:44
Cho em hỏi có quy tắc nào để tách mỗi hạng tử của tổng thành hiệu của hai hạng tử không ạ
À đoạn ấy mình đánh nhầm đấy, mình đã sửa lại rồi
Success doesn't come to you. You come to it.
#6
Đã gửi 09-01-2017 - 19:53
Bạn làm chuẩn quá, mình nghĩ đoạn giả sử đó có thể lược đi, khẳng định khi n -> dương vô cùng thì lim Un bằng dương vô cùng luôn là được phải ko nhỉ. Bài này nếu thay giả thiết là U1>0 vẫn làm đuọc phải ko bạn???Dễ thấy $u_n>0$ và $(u_n)$ là dãy tăng.
Giả sử $(u_n)$ hội tụ, tức là tồn tại $a=lim u_n$
Khi đó: $a=a(\sqrt{a}+1)^{2}\Leftrightarrow a=0$ (loại vì $a<u_1<...<u_n$
Ta có: $u_{n+1}=u_n(\sqrt{u_n}+1)^{2}\Leftrightarrow \sqrt{u_{n+1}}=\sqrt{u_{n}}(\sqrt{u_n}+1)\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\frac{1}{\sqrt{u_{n}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n}+1}}$
Do đó: $S_n=\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{2017}}-\frac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}$
$\Rightarrow limS_n=\frac{1}{\sqrt{2017}}$
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
VIỆC HỌC TOÁN SONG SONG VỚI CUỘC ĐỜI
!
#7
Đã gửi 10-01-2017 - 02:35
Bạn làm chuẩn quá, mình nghĩ đoạn giả sử đó có thể lược đi, khẳng định khi n -> dương vô cùng thì lim Un bằng dương vô cùng luôn là được phải ko nhỉ. Bài này nếu thay giả thiết là U1>0 vẫn làm đuọc phải ko bạn???
Tất nhiên là có bởi bạn đã làm bài mở rộng này trước lớp rồi mà, không nhớ à
Success doesn't come to you. You come to it.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh