Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

$f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 591 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ngãi
  • Sở thích:Toán học,Vật lý lý thuyết, âm nhạc,thể thao, phim.

Đã gửi 30-12-2016 - 00:14

Tìm tất cả các hàm f: R->R thoả: $f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 30-12-2016 - 00:22

Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#2 dungxibo123

dungxibo123

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 209 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:Fifa Online 3 và môn Toán

Đã gửi 30-12-2016 - 08:46

Tìm tất cả các hàm f: R->R thoả: $f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))$

đầu tiên chứng minh $f$ đơn ánh nhỉ ? sau đó thế $x=f(y)$


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#3 9nho10mong

9nho10mong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TTGDTX Bình Chánh

Đã gửi 01-01-2017 - 15:47

Tìm tất cả các hàm f: R->R thoả: $f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))\ , \  \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(1)}$

 

Trong $(1)$ thay $x$ bằng $f(y)$ được

$$ f(0) = 2 f(f(y)) +f^2 (y) \ , \ \forall y \in \mathbb{R} $$

Suy ra

$$ f(f(y)) = - \dfrac{ f^2 (y)}{2} +\dfrac{f(0)}{2}  \ , \ \forall y \in \mathbb{R} \quad{(2)}$$

Trong $(1)$ thay x bằng $f(x)$, đồng thời dùng $(2)$ được

$$ f \left(f(x)-f(y) \right) = -\dfrac{ \left( f(x) -f(y) \right)^2}{2} + f(0)  \ , \ \forall x,y \in \mathbb{R} \quad{(3)} $$

Trước tiên dễ thấy $f(y) = 0 \ , \ \forall y \in \mathbb{R}$ là một nghiệm hàm.

 

Xét trường hợp tồn tại $y_0 \in \mathbb{R}$ để $f(y_0) \neq 0$.

 

Trong $(1)$ thay $y$ bằng $y_0$ được

$$ f(x-f(y_0)) - f(x) = x \cdot f(y_0) + f(f(y_0)) \ , \ \forall x \in \mathbb{R} \quad{(4)} $$

Với mọi số thực $t$, từ $(4)$ ta thấy

$$ f\left( \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} -f(y_0)   \right) - f \left( \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} \right) = \left( \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} \right) \cdot f(y_0)+f(f(y_0)) = t \quad{(5)}$$

Trong $(3)$ thay $x$ bằng $ \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)} -f(y_0)$ và thay $y$ bằng $ \dfrac{t-f(f(y_0))}{f(y_0)}$, kết hợp với $(5)$ được

$$ f(t) = -\dfrac{t^2}{2}+f (0) \ , \ \forall t \in \mathbb{R} $$

Thử lại vào $(1)$, tìm được $f(0) = 0 $.

 

Do đó, nghiệm của bài toán là $f(x) = 0 \ , \ \forall x \in \mathbb{R}$ và $f(x) = - \dfrac{x^2}{2} \ , \ \forall x \in \mathbb{R}$.


.

 


#4 manhtuan00

manhtuan00

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Hình học, số học, phương trình hàm, tổ hợp

Đã gửi 10-01-2017 - 23:02

Ta có : $f(x-f(y)) - f(x) = xf(y)+f(f(y))$. Từ đây ta có $f(x)-f(y)$ nhận mọi giá trị trên tập số thực 

$P(f(x),y) : f(f(x)-f(y)) = f(f(x))+f(x)f(y)+f(f(y)) = f(f(y)-f(x))$ từ đâ yta có $f(x) = f(-x)$ với mọi $x$

$P(0,y) : f(-f(y)) = f(0) + f(f(y))= f(f(y)) \implies f(0) = 0$

$P(f(y),y) : f(f(y)) = \frac{-f^2(y)}{2}$

Vậy ta có : $f(f(x)-f(y)) = f(x)f(y) -  \frac{-f^2(y)}{2} -  \frac{-f^2(x)}{2} =  \frac{-(f(x)-f(y))^2}{2}$ nên $f(x) = \frac{-x^2}{2}$

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh