Đến nội dung


Chú ý

Nếu bạn gặp lỗi trong quá trinh đăng ký thành viên, hoặc đã đăng ký thành công nhưng không nhận được email kích hoạt, hãy thực hiện những bước sau:

  • Đăng nhập với tên và mật khẩu bạn đã dùng kể đăng ký. Dù bị lỗi nhưng hệ thống đã lưu thông tin của bạn vào cơ sở dữ liệu, nên có thể đăng nhập được.
  • Sau khi đăng nhập, phía góc trên bên phải màn hình sẽ có nút "Gửi lại mã kích hoạt", bạn nhấn vào nút đó để yêu cầu gửi mã kích hoạt mới qua email.
Nếu bạn đã quên mật khẩu thì lúc đăng nhập hãy nhấn vào nút "Tôi đã quên mật khẩu" để hệ thống gửi mật khẩu mới cho bạn, sau đó làm theo hai bước trên để kích hoạt tài khoản. Lưu ý sau khi đăng nhập được bạn nên thay mật khẩu mới.

Nếu vẫn không đăng nhập được, hoặc gặp lỗi "Không có yêu cầu xác nhận đang chờ giải quyết cho thành viên đó", bạn hãy gửi email đến [email protected] để được hỗ trợ.
---
Do sự cố ngoài ý muốn, tất cả bài viết và thành viên đăng kí sau ngày 08/08/2019 đều không thể được khôi phục. Những thành viên nào tham gia diễn đàn sau ngày này xin vui lòng đăng kí lại tài khoản. Ban Quản Trị rất mong các bạn thông cảm. Mọi câu hỏi hay thắc mắc các bạn có thể đăng vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để được hỗ trợ. Ngoài ra nếu các bạn thấy diễn đàn bị lỗi thì xin hãy thông báo cho BQT trong chủ đề Báo lỗi diễn đàn. Cảm ơn các bạn.

Ban Quản Trị.


Hình ảnh

Tính giới hạn của tổng $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$ biết dãy số...


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 giomua

giomua

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đã gửi 30-12-2016 - 16:56

Cho dãy số $\left(u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2017  & \\   u_{n+1}=u_{n}\left(\sqrt{u_{n}}+1 \right)^{2}  \end{matrix}\right.$. Đặt $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$. Tính $limS_{n} $



#2 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 326 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 02-01-2017 - 12:11

Cho dãy số $\left(u_{n} \right)$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=2017  & \\   u_{n+1}=u_{n}\left(\sqrt{u_{n}}+1 \right)^{2}  \end{matrix}\right.$. Đặt $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{u_{k}}+1}$. Tính $limS_{n} $

 

 

Đầu tiên, do $u_1=2017>0$ nên $u_2>0$, $u_3>0$, $\ldots$ $u_n>0\ \forall \ n \in \mathbb{N^*}$. Mặt khác ta có $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\sqrt{u_n}+1\right)^2>1$ (vì $u_n>0$), do đó $u_{n+1}>u_n \ \forall \ n \in \mathbb{N^*}$

Vậy ta có $2017<u_1<u_2<\ldots<u_n$ với mọi $n\geqslant 1$.

 

Giả sử $\left(u_n\right)$ bị chặn trên. Theo nguyên lý $Weierstrass$ thì $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn $L\in \mathbb{R}$, $L>2017$. Chuyển hệ thức truy hồi của dãy qua giới hạn thì ta có ngay $L=0$, mâu thuẫn. Vậy $\left(u_n\right)$ không bị chặn trên, do đó $\lim_{n\to +\infty}=+\infty$.

 

Mặt khác ta có

\begin{align*} &\phantom{~\iff} \sqrt{u_{n+1}}=\sqrt{u_n}\left(\sqrt{u_n}+1\right) \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}\left(\sqrt{u_n}+1\right)} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_n}+1} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\end{align*}

 

Vậy ta có

\[S_n=\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{\sqrt{u_k}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{u_1}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}\]

 

 

Vì $\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=+\infty$ nên ta có ngay $\lim_{n\to +\infty} S_n=\dfrac{\sqrt{2017}}{2017}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 02-01-2017 - 12:14

$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#3 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 16-01-2017 - 22:24

Đầu tiên, do $u_1=2017>0$ nên $u_2>0$, $u_3>0$, $\ldots$ $u_n>0\ \forall \ n \in \mathbb{N^*}$. Mặt khác ta có $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\sqrt{u_n}+1\right)^2>1$ (vì $u_n>0$), do đó $u_{n+1}>u_n \ \forall \ n \in \mathbb{N^*}$

Vậy ta có $2017<u_1<u_2<\ldots<u_n$ với mọi $n\geqslant 1$.

 

Giả sử $\left(u_n\right)$ bị chặn trên. Theo nguyên lý $Weierstrass$ thì $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn $L\in \mathbb{R}$, $L>2017$. Chuyển hệ thức truy hồi của dãy qua giới hạn thì ta có ngay $L=0$, mâu thuẫn. Vậy $\left(u_n\right)$ không bị chặn trên, do đó $\lim_{n\to +\infty}=+\infty$.

 

Mặt khác ta có

\begin{align*} &\phantom{~\iff} \sqrt{u_{n+1}}=\sqrt{u_n}\left(\sqrt{u_n}+1\right) \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}\left(\sqrt{u_n}+1\right)} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_n}+1} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*} \\ &\iff \dfrac{1}{\sqrt{u_n}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{u_n}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}} \ \forall \ n\in\mathbb{N^*}\end{align*}

 

Vậy ta có

\[S_n=\sum^n_{k=1}\dfrac{1}{\sqrt{u_k}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{u_1}}-\dfrac{1}{\sqrt{u_{n+1}}}\]

 

 

Vì $\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=+\infty$ nên ta có ngay $\lim_{n\to +\infty} S_n=\dfrac{\sqrt{2017}}{2017}$.

thật ra bài này là $lim U_{n}=+\infty$ không cần phải dùng định lý $weierstrass$ mà hình như bạn dùng định lý này cũng bị sai nữa ấy$U_{n}$ tăng và bị chặn trên mới có giới hạn nha bạn 
Hoặc bạn chỉ cần giả sử dãy có bị chặn trên nhưng dãy không có giới hạn hữu hạn nên dãy tiến tới$+\infty$ cũng dc


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 16-01-2017 - 23:07


#4 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 326 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 21-01-2017 - 15:49

thật ra bài này là $lim U_{n}=+\infty$ không cần phải dùng định lý $weierstrass$ mà hình như bạn dùng định lý này cũng bị sai nữa ấy$U_{n}$ tăng và bị chặn trên mới có giới hạn nha bạn 
Hoặc bạn chỉ cần giả sử dãy có bị chặn trên nhưng dãy không có giới hạn hữu hạn nên dãy tiến tới$+\infty$ cũng dc

$u_1<u_2<\ldots<u_n$ với mọi $n$ thì chẳng phải là tăng ư? Sau đó mình chia trường hợp chặn trên và không chặn trên...

 

À mà, có cách không dùng Weierstrass à :D


$$\text{Vuong Lam Huy}$$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh