Chủ đề này có 4 trả lời

[Zeref]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}$

[Hoang Dinh Nhat]

Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}$

Không mất tính tổng quát giả sử c $c$ là số bé nhất nên $a\geq c;b\geq c$

Ta có: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)+(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-1)=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}+\frac{ab+c^2-bc-ac}{ca}=\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ca}$

Tương tự ta có: $\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1}-3=\frac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+1)(c+1)}$

Vì $a\geq c;b\geq c$$\Rightarrow \frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ca}\geq \frac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+1)(c+1)}$

nên ta có đpcm

[AnhTran2911]

Không mất tính tổng quát giả sử c $c$ là số bé nhất nên $a\geq c;b\geq c$

Ta có: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)+(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-1)=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}+\frac{ab+c^2-bc-ac}{ca}=\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ca}$

Tương tự ta có: $\frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1}-3=\frac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+1)(c+1)}$

Vì $a\geq c;b\geq c$$\Rightarrow \frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a-c)(b-c)}{ca}\geq \frac{(a-b)^2}{(a+1)(b+1)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+1)(c+1)}$

nên ta có đpcm

Hình như bạn làm sai đề phải không $\frac{a^2+1}{b^2+1}$ chứ có phải $\frac{a+1}{b+1}$ đâu

[Nguyenphuctang]

Đề bài này không đúng. Ví dụ như: $a=3;b=1;c=2$

Đề đúng là: 

$$ \sum \dfrac{a}{b} \geq \sum \sqrt{\dfrac{a^{2}+1}{b^{2}+1}} $$

Lời giải:

[AnhTran2911]

Đề bài này không đúng. Ví dụ như: $a=3;b=1;c=2$

Đề đúng là: 

$$ \sum \dfrac{a}{b} \geq \sum \sqrt{\dfrac{a^{2}+1}{b^{2}+1}} $$

Lời giải:

Khó hiểu quá. Có cách ngắn hơn không nhỉ ?