Chủ đề này có 136 trả lời

[Nghiapnh1002]

Bài 8: 

Ta có $3(x-3)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33$ từ đó ta có 

$3(x-3)^2 \leq 33$ tức là $(x-3)^2 \leq 11 $

Vì $(x-3)^2$ là một số chính phương nên ta có $(x-3)^2 \in \left \{ 0;1;4;9 \right \}$

-Với $(x-3)^2=0$ thì $(3y^2+2)(z^2+2)=37$. Suy ra 

$\left\{\begin{matrix} & 3y^2+2 =1& \\ &z^2+2=37 & \end{matrix}\right.$

Hoặc $\left\{\begin{matrix} & 3y^2+2=37 & \\ & z^2+2=1 & \end{matrix}\right.$

(Trường hợp này vô nghiệm. Lý luận tương tự với các trường hợp còn lại ta có 

Các nghiệm của phương trình là $(x;y;z)=(6;1;0):(6;-1;0);(0;1;0)'(0;-1;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 13-03-2017 - 18:32

[HoangKhanh2002]

$\boxed{10}$ Tìm các số nguyên dương x, y sao cho $A=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{(x+y)^2}$ là số chính phương

$\boxed{11}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 5x^2+2y^2+z^2=2\\ xy+yz+zx=1 \end{matrix}\right.$

---Trích chuyên mục "Đề ra kì này" của THTT số 473 tháng 11/2016---

(Đã hết hạn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 13-03-2017 - 18:34

[Baoriven]

Lời giải bài 11:

Ta thấy ngay vấn đề là khử ngay các số hạng tự do và tìm ngay quan hệ các biến.

Lấy PT $(1)$ trừ đi $2$ lần PT $(2)$, ta được:

$5x^2+2y^2+z^2-2xy-2yz-2zx=0$.

$\Leftrightarrow (2x-y)^2+(x+y-z)^2=0.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x=y \\ x+y=z \end{matrix}\right.$

Từ đó ta được: $y=2x$ và $z=3x$.

... 

[Nerus]

$\boxed{10}$ Tìm các số nguyên dương x, y sao cho $A=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{(x+y)^2}$ là số chính phương

 

$A=\left ( x+y \right )^{2}-2xy+\left (\frac{xy}{x+y} \right )^{2}= \left ( x+y-\frac{xy}{x+y} \right )^{2}$ luôn là sô cp chứ nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nerus: 13-03-2017 - 19:51

[NHoang1608]

Đáp án cho bài số 8:

Nguồn: AoPS.

P/s: mng nên đề nghị những bài vừa tầm cho học sinh THCS thôi chứ không nên đưa 1 bài chọn đội tuyển như thế này.(8 ngày rồi chưa có lời giải nên mình đưa lên cho mọi người tham khảo).

File gửi kèm

•  Art of Problem Solving.pdf   141.17K   197 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 13-03-2017 - 20:20

[Baoriven]

Vậy vấn đề của Bài 10 là tìm $x,y$ để $(x+y)|xy$.

[NHoang1608]

$A=\left ( x+y \right )^{2}-2xy+\left (\frac{xy}{x+y} \right )^{2}= \left ( x+y-\frac{xy}{x+y} \right )^{2}$ luôn là sô cp chứ nhỉ

Lời giải cho bài số 10:

Để A là số chính phương thì cần phải có $\frac{xy}{x+y}\in \mathbb{N}$.

Đặt $\frac{xy}{x+y}=k$ ($k \in \mathbb{N}$) suy ra $(x-k)(y-k)=k^{2}$. $(1)$

Đặt $(x-k;y-k)=d \Rightarrow x,y,k \vdots d\Rightarrow x=dx_{1}; y=dy_{1}; k=dk_{1} $

Suy ra $(x_{1}-k_{1})(y_{1}-k_{1})=k_{1}^{2}$ mà $(x_{1}-k_{1};y_{1}-k_{1})=1$ nên $x_{1}-k_{1}=a^{2}$ và $y_{1}-k_{1}=b^{2}$, $k_{1}=ab$

Vậy $x=dab+da^{2}$ và $y=dab+db^{2}$ với $d,a,b \in \mathbb{N}$. Thử lại ta thấy đúng. 

 

P/s: ai có cách khác gọn hơn không. Mình vẫn nghĩ là không đủ nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 13-03-2017 - 20:21

[HoangKhanh2002]

Cách giải khác cho bài 11

[NHoang1608]

$\boxed{12}$ Cho $a,b,c$  là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b+c=243$ và $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{c}+\frac{c+1}{a} \in \mathbb{N}$. Gọi $d$ là ước số chung của 3 số $a,b,c$. Chứng minh rằng $d\leq 27$.

$\boxed{13}$ Tìm các cặp số $(x,y)$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $\frac{x^{3}+x}{xy-1}$ là 1 số nguyên dương.

 

Gợi ý:

Spoiler

Để topic không bị chậm trễ kì thi minh sẽ đưa ra gợi ý cho bài 12: gọi $t$ là ước chung lớn nhất của $a, b, c$ thì suy ra $t\geq d$
còn biểu thức thì quy đồng lên ta sẽ chứng minh rằng $a+b+c\vdots9d$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 15-03-2017 - 17:32

[HoangKhanh2002]

$\boxed{12}$ Cho $a,b,c$  là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b+c=243$ và $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{c}+\frac{c+1}{a} \in \mathbb{N}$. Gọi $d$ là ước số chung lớn nhất của 3 số $a,b,c$. Chứng minh rằng $d\leq 27$.

$\boxed{13}$ Tìm các cặp số $(x,y)$ là các số nguyên dương thỏa mãn: $\frac{x^{3}+x}{xy-1}$ là 1 số nguyên dương.

Bài 13

Ta có: $\frac{x^{3}+x}{xy-1}\in Z^+\Rightarrow (x^3+x)|(xy-1)\Rightarrow (x^3+x)y|(xy-1)\Leftrightarrow x^2(xy-1)+x(x+y)|(xy-1)\Rightarrow x(x+y)|(xy-1)$

Gọi $d=(x;xy-1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy|d\\ xy-1|d \end{matrix}\right.\Rightarrow d=1$

Vì vậy: $(x+y)|(xy-1)\Rightarrow x+y \geq xy-1\Leftrightarrow xy-x-y-1 \leq 0\Leftrightarrow (x-1)(y-1)\leq 2$

Xét các trường hợp...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 13-03-2017 - 21:00

[trambau]

góp 1 bài

$\left\{ \begin{array}{l} xy[(8xy+9x)^2+27(x^2-1)]=9y(1-3y)+\frac{1535}{4}\\ x^3-y^3+xy=\frac{-57}{4} \end{array} \right.$

[HoangKhanh2002]

$\boxed{15}$ Tìm tất cả các số có bốn chữ số $\overline{abcd}$ sao cho: $\left\{\begin{matrix} a+b=cd\\ c+d=ab \end{matrix}\right.$

PS: @trambau: Chị ơi số học nha chị

[viet9a14124869]

$\boxed{15}$ Tìm tất cả các số có bốn chữ số $\overline{abcd}$ sao cho: $\left\{\begin{matrix} a+b=cd\\ c+d=ab \end{matrix}\right.$

PS: @trambau: Chị ơi số học nha chị

Bài này hồi trước nhiều bạn đã đăng ,,,, xin tóm tắt lại cách giải như sau 

+) Xét a=1 thì $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b+1=cd & & \\ c+d=b & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (c-1)(d-1)=2\Rightarrow \overline{abcd}\in \left \{ 1523,1532 \right \}$ 

+)Xét a=2 thì b=c=d=2 

Sau đó xét tương tự vs b,c,d

Ta có một bổ đề sau : Với mọi a,b nguyên dương và a,b >2 thì $ab>a+b$ ,,,,,áp dụng vào bài toán ta thấy vô nghiệm !!! 

Vậy các số thỏa mãn là $\overline{abcd}\in \left \{ 1523,1532,5123,5132,2315,2351,3215,3251,2222 \right \}$ 

 

P/s : cách hơi tắt ,,,mình cũng không biết có đầy đủ không     

[HoangKhanh2002]

CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

 

$\boxed{1}$ Giải phương trình: $5x^2+8x-14=(x^2+7x-10)\sqrt{x+2}$

$\boxed{2}$ Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Tìm GTLN của: $P=\frac{4a^2+1}{a^3+1}+\frac{4b^2+1}{b^3+1}+\frac{4c^2+1}{c^3+1}$

(Nguồn: Anh Bùi Thế Việt)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 23-03-2017 - 20:05

[Nghiapnh1002]

Bài 16: Chứng minh rằng: $\sum \frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}$ 

Bài 17: Giải phương trình: $\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$

P/s: Nếu mình có đánh nhầm số thứ tự thì mong bạn chỉnh giúp.

[HoangKhanh2002]

$\boxed{3}$ Chứng minh rằng: $\sum \frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}$ 

$\boxed{4}$ Giải phương trình: $\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$

P/s: Nếu mình có đánh nhầm số thứ tự thì mong bạn chỉnh giúp.

Khi chuyển sang một dạng mới thì số thứ tự đánh lại từ đầu nên phải 3 và 4 bạn nhé

$\boxed{4}$

$\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x\Rightarrow 1-x^2=16x^6-24x^4+9x^2\Leftrightarrow 16x^6-24x^4+10x^2-1=0\Leftrightarrow (8x^4-8x^2+1)(2x^2-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\\ x^2=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\\ x^2=\frac{1}{2} \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\pm \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\\ x=\pm \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\\ x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$

Thử lại ta có: $x\in \left \{ \frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right \}$

[tienduc]

$\boxed{3}$ Chứng minh rằng: $\sum \frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}$ 

Câu bất này có điều kiện gì không hả bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 23-03-2017 - 19:55

[Nghiapnh1002]

Câu bất này có điều kiện gì không hả bạn

Không bạn ơi, nhưng đây là bất đẳng thức thuần nhất nên ta có thể chuẫn hóa

[HoangKhanh2002]

Câu bất này có điều kiện gì không hả bạn

 

Không bạn ơi, nhưng đây là bất đẳng thức thuần nhất nên ta có thể chuẫn hóa

Anh ơi, đây là topic THCS chứ không phải THPT. Mặc dù đã học qua về cái chuẩn hoá này nhưng xin không trình bày ở đây

Toipc này chỉ đăng những bài THCS có tính chất luyện thi chuyên thôi. Không nên đăng những bài quá sức

[Minhnksc]

BÀI 5 : Giải phương trình:

$-4x^3+16x^2-20x+5+\frac{1}{x^2}+\frac{6x+2}{\sqrt{(5-2x)(2x-1)}}+\frac{3x^2-x+4}{2\sqrt{x-1}}=6\sqrt[3]{3}$ 

BÀI 6:(Học sinh giỏi tỉnh Hà Nam 2013-2014) 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+2b^2+3c^2=3abc$

Tìm GTNN của biểu thức: $P = 3a+2b+c+\frac{8}{a}+\frac{6}{b}+\frac{4}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 25-03-2017 - 18:01