Đến nội dung

Hình ảnh

$\boxed{Topic}$ ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2017-2018

ôn thi vào thpt chuyên 2017 ôn thi vào thpt chuyên toán

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 136 trả lời

#81
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

$\boxed{\text{Đáp án bài số 2}}$

Trước hết ta sẽ chứng minh $\frac{4a^{2}+1}{a^{3}+1} \leq \frac{a}{4}+\frac{9}{4}$

                                             $\Leftrightarrow 16a^{2}+4 \leq (a^{3}+1)(a+9)$

                                             $\Leftrightarrow (a^{2}+11a+5)(a-1)^{2} \geq 0$ (Đúng vì $a\ge 0$)

Tương tự ta cũng có: $\frac{4b^{2}+1}{b^{3}+1} \leq \frac{b}{4}+\frac{9}{4} ,\frac{4c^{2}+1}{c^{3}+1} \leq \frac{c}{4}+\frac{9}{4}$.

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có: $P \leq (\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4})+3.\frac{9}{4}=\frac{15}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 25-03-2017 - 14:20

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#82
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

BÀI 5 : Giải phương trình:

$-4x^3+18x^2-22x+5+\frac{1}{x^2}+\frac{6x+2}{\sqrt{(5-2x)(2x-1)}}+\frac{3x^2-x+2}{\sqrt{x-1}}=6\sqrt[3]{3}$ 

BÀI 6: (Học sinh giỏi tỉnh Hà Nam 2013-2014) 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+2b^2+3c^2=3abc$

Tìm GTNN của biểu thức: $P = 3a+2b+c+\frac{8}{a}+\frac{6}{b}+\frac{4}{c}$

 

 

$\boxed{5}$Có sai đề gì không bạn (không ra nghiệm)
 

$\boxed{6}$

Áp dụng BĐT AM - GM ta có: $3abc=a^2+2b^2+3c^2=a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+c^2\geq 6\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\Rightarrow 3\sqrt[6]{a^6b^6c^6}\geq 6\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\Rightarrow \sqrt[6]{a^4b^2}\geq 2\Rightarrow 2\leq \sqrt[3]{a^2b}\leq \frac{a+a+b}{3}=\frac{2a+b}{3}\Rightarrow 2a+b\geq 6$

Ta có: $P = 3a+2b+c+\frac{8}{a}+\frac{6}{b}+\frac{4}{c}=2a+\frac{8}{a}+\frac{3}{2}b+\frac{6}{b}+c+\frac{4}{c}+\frac{1}{2}(2a+b)\geq 2.4+2.3+2.2+\frac{1}{2}.6=21$

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 25-03-2017 - 17:22


#83
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết
$\boxed{1}$ Giải phương trình: $5x^2+8x-14=(x^2+7x-10)\sqrt{x+2}$

Lời giải cho bài $\boxed{1}$

ĐK: $x\geq -2$

Phương trình đã cho tương đương với: $-(-5\sqrt{x+2}+x+7)(x\sqrt{x+2}+2)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+7=5\sqrt{x+2}\\ x\sqrt{x+2}=-2 \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} x^2-11x-1=0\\ x^3+2x^2+8=0 \end{bmatrix}\Rightarrow x=\frac{11\pm 5\sqrt{5}}{2}$



#84
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

$\boxed{7}$ Cho x, y là hai số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{2015(x+y)^2}{x^2+y^2}+\frac{2016(x+y)^2}{xy}$

$\boxed{8}$ Giải phương trình: $x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 25-03-2017 - 17:45


#85
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

 

$\boxed{5}$Có sai đề gì không bạn (không ra nghiệm)
 

 

mình sửa đề rồi đó bạn, mà câu này nếu bạn không ra nghiệm thì chứng minh nó vô nghiệm nhá ,vì câu này mình sáng tác và dùng bất đẳng thức để giải nên cũng chưa kiểm tra dấu bằng đâu


Sống khỏe và sống tốt :D


#86
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

Riêng về phần hình học mình khuyên các bạn nên tham khảo topic của Thầy Trần Quang Hùng - GV Trường THPT Chuyên KHTN:

https://diendantoanh...o-cấp-3-chuyên/

Chúc các bạn học tốt! 



#87
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

$\boxed{8}$ Giải phương trình: $x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}$

$\boxed{\text{Đáp án bài số 8}}$

ĐK: $x>1$

Phương trình đã cho tương đương với

     $x-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{x-\frac{1}{x}}$

     $\Leftrightarrow (x-\sqrt{1-\frac{1}{x}})^{2}=(\sqrt{x-\frac{1}{x}})^{2}$

     $\Leftrightarrow (x^{2}-1)-2\sqrt{x(x^{2}-1)}+x=0$

     $\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x})^{2}=0$

     $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-1}-\sqrt{x}=0$

     $\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 25-03-2017 - 18:42

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#88
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

$\boxed{7}$ Cho x, y là hai số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{2015(x+y)^2}{x^2+y^2}+\frac{2016(x+y)^2}{xy}$

$\boxed{\text{Đáp án bài số 7}}$

Ta có $A=\frac{2015(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2015(x+y)^{2}}{2xy}+\frac{2015(x+y)^{2}}{2xy}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$

              $\geq \frac{2015.4(x+y)^{2}}{(x+y)^{2}}+\frac{2015.4xy}{2xy}+\frac{4xy}{xy}=2015.4+2015.2+4=12094$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 25-03-2017 - 18:41

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#89
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
$\boxed{9}$ Giải phương trình: $(x+2)\sqrt{x^{2}-2x+4}=(x-1)\sqrt{x^{2}+4x+7}$.
$\boxed{10}$ Cho $a, b, c$ là các số thực: $a,b\geq 0 ; c\geq 1$ và $a+b+c=2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=(6-a^{2}-b^{2}-c^{2})(2-abc)$
Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 25-03-2017 - 19:33

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#90
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

$\boxed{9}$ Giải phương trình: $(x+2)\sqrt{x^{2}-2x+4}=(x-1)\sqrt{x^{2}+4x+7}$.
$\boxed{10}$ Cho $a, b, c$ là các số thực: $a,b\geq ; c\geq 1$ và $a+b+c=2$.
                      Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=(6-a^{2}-b^{2}-c^{2})(2-abc)$ 

Spoiler

$\boxed9$ ,

Đặt $a=x-1,b=x+2\Rightarrow a\sqrt{b^2+3}=b\sqrt{a^2+3}\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=-b\Rightarrow x=\frac{-1}{2}$

Thử thấy không thỏa mãn nên vô nghiệm !

Bài 10 bạn xem a với b có điều kiện gì đấy ,,,hình như thiếu rồi !

 

  


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#91
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

$\boxed10$ Do $c\geq 1\Rightarrow a\leq 1,b\leq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ab+bc+ca-1\Rightarrow (6-a^2-b^2-c^2)(2-abc)=2(1+ab+bc+ca)(2-abc)\leq 2(1+ab+bc+ca)(3-ab-bc-ca)\leq 8\Leftrightarrow (a,b,c)\in (1,0,1)$ và các hoán vị !!!


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#92
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

$\boxed{11}$ Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

$\boxed{12}$ Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x.y.z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{x^3(y^3+z^3)+1}+\frac{1}{y^3(z^3+x^3)+1}+\frac{1}{z^3(x^3+y^3)+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 29-03-2017 - 18:10


#93
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

$\boxed10$ Do $c\geq 1\Rightarrow a\leq 1,b\leq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ab+bc+ca-1\Rightarrow (6-a^2-b^2-c^2)(2-abc)=2(1+ab+bc+ca)(2-abc)\leq 2(1+ab+bc+ca)(3-ab-bc-ca)\leq 8\Leftrightarrow (a,b,c)\in (1,0,1)$ và các hoán vị !!!


Mình thấy chỗ bạn viết "và các hoán vị" có vẻ không ổn, nhỡ (a,b,c)=(1,1,0) thì sao ( trong khi $c\geq1$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 26-03-2017 - 23:31

Sống khỏe và sống tốt :D


#94
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

$\boxed{12}$ Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x.y.z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{x^3(y^3+z^3)+1}+\frac{1}{y^3(z^3+x^3)+1}+\frac{1}{z^3(x^3+y^3)+1}$

$\boxed{\text{Đáp án bài số 12}}$

Áp dụng bổ đề sau: $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ $(a,b>0)$

Ta có: $P\leq \frac{1}{x^{3}yz(y+z)+1}+\frac{1}{y^{3}xz(x+z)+1}+\frac{1}{z^{3}yx(y+x)+1}$

                  $=\frac{1}{x(xy+xz)+xyz}+\frac{1}{y(xy+yz)+xyz}+\frac{1}{z(yz+xz)+xyz}$

                  $=\frac{1}{xy+yz+zx}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

                  $=\frac{1}{xy+yz+zx}(xy+yz+zx)=1$

$\Rightarrow Max P=1$ khi $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 27-03-2017 - 16:34

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#95
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

$\boxed{13}$ Giải phương trình: $9(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2})=x+3$

$\boxed{14}$ Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: $x+y+z=1$. Tìm GTLN của biểu thức: $A=\sum x(y^2+x^2)$

PS: Bài $\boxed{11}$ chưa hợp lí lắm nên mình đã đổi lại. Mong các bạn thứ lỗi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 29-03-2017 - 18:43


#96
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

$\boxed{13}$ Giải phương trình: $9(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2})=x+3$

 

$\boxed{13}$ 

ĐKXĐ: $x \geq \frac{2}{3}$

phương trình tương đương $\frac{x+3}{\sqrt{4x-1}-\sqrt{3x-2}}=x+3\Leftrightarrow (x+3)(1-\frac{1}{\sqrt{4x-1}-\sqrt{3x-2}})=0$

trường hợp1 : $x+3=0\Leftrightarrow x=-3$(thỏa mãn ĐKXĐ)

trường hợp 2: $1-\frac{1}{\sqrt{4x-1}-\sqrt{3x-2}}=0 \Rightarrow \sqrt{4x-1}-\sqrt{3x-2}=1$

giải ra ta được x = 2 hoặc x = 6 (thỏa mãn ĐKXĐ)


Sống khỏe và sống tốt :D


#97
viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 903 Bài viết

$\boxed{11}$ Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

$\boxed{12}$ Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x.y.z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{x^3(y^3+z^3)+1}+\frac{1}{y^3(z^3+x^3)+1}+\frac{1}{z^3(x^3+y^3)+1}$

Bài 11 : Ta có $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-x}{x}}-1=\frac{2x-1}{1+x^2}\Leftrightarrow \frac{1-2x}{x+\sqrt{x-x^2}}=\frac{2x-1}{x^2+1}$ 

Từ đó dễ suy ra x=$\frac{1}{2}$ .

Bài 12 : Đặt xy=a,yz=b,zx=c 

Ta có abc=1 và $P=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \sum \frac{1}{a^2b+b^2a+1}=\sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=1$ 

Vậy max=1 khi x=y=z=1 


                                                                    SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ

                                                                    GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?

                                                                    ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA 

                                                                    KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .


#98
Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 302 Bài viết

$\boxed{15}$ 

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ Chứng minh rằng

$(a+b-c-1)(b+c-a-1)(a+c-b-1)\leq8$


Sống khỏe và sống tốt :D


#99
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

$\boxed{\text{Lời giải bài 15}}$

Đặt $a+b-c-1=2x^{3}, b+c-a-1=2y^{3}, c+a-b-1=2z^{3}$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $xyz\leq 1$

Từ cách đặt trên ta có: $\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{x^{3}+z^{3}+1}=1$

Giả sử $xyz>1\Rightarrow xyz(x+y)+ z>x+y+z$ $(1)$

Mặt khác $xy(x+y)+1\leq x^{3}+y^{3}+1\Rightarrow z[xy(x+y)+1]\leq z(x^{3}+y^{3}+1)\Rightarrow xyz(x+y)+z\leq z(x^{3}+y^{3}+1)$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra $x+y+z< z(x^{3}+y^{3}+1)\Rightarrow \frac{z}{x+y+z}>\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}$

Tương tự ta cũng có: $\frac{x}{x+y+z}> \frac{1}{z^{3}+y^{3}+1}$

                                   $\frac{y}{x+y+z}> \frac{1}{x^{3}+z^{3}+1}$

Cộng các bất đẳng thức trên ta có: $1=\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{x^{3}+z^{3}+1}< 1$ (Vô lí) 

Vậy điều giả sử là sai $\Rightarrow xyz\leq 1\Rightarrow ĐPCM$

                                   


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#100
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

$\boxed{16}$ Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

                     $P=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}$.

$\boxed{17}$ Giải phương trình $\sqrt{5-3x}+\sqrt{x+1}=\sqrt{3x^{2}-4x+4}$.


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh