Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 misakichan

misakichan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-01-2017 - 14:09

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$.  CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-01-2017 - 16:51


#2 HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{A1-K52 THPT Đức Thọ}$ $\textrm{Hà Tĩnh}$
  • Sở thích:$\boxed{\boxed{{\color{green}\rightarrow}\boxed{\color{red}\bigstar}\boxed{\bf \mathfrak{{{\color{blue}{๖ۣۜMaths}}}}}\boxed{\color{red}\bigstar}{\color{green}\leftarrow }}}$

Đã gửi 01-01-2017 - 15:00

Cho x, y, z>0 và xyz=1

CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$

Đặt $x=a^3; y=b^3; z=c^3$ nên abc=1. Bất đẳng thức đã cho tương đương với

$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

Ta có: $\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}=\frac{1}{(a+b)(a^2-ab+b^2)+1}+\frac{1}{(b+c)(b^2-bc+c^2)+1}+\frac{1}{(c+a)(c^2-ca+a^2)+1}$ $\leq \frac{1}{ac(a+c)+1}+\frac{1}{bc(b+c)+1}+\frac{1}{ca(c+a)+1}=\frac{1}{a^2c+ac^2+abc}+\frac{1}{b^2c+bc^2+abc}+\frac{1}{c^2a+ca^2+abc}=\frac{1}{ac(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$ vì abc=1 $ac=\frac{1}{b}; ab=\frac{1}{c}; bc=\frac{1}{a}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1



#3 PhungHieu

PhungHieu

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-01-2017 - 16:09

Đặt $x=a^3; y=b^3; z=c^3$ nên abc=1. Bất đẳng thức đã cho tương đương với

$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

Ta có: $\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}=\frac{1}{(a+b)(a^2-ab+b^2)+1}+\frac{1}{(b+c)(b^2-bc+c^2)+1}+\frac{1}{(c+a)(c^2-ca+a^2)+1}$ $\leq \frac{1}{ac(a+c)+1}+\frac{1}{bc(b+c)+1}+\frac{1}{ca(c+a)+1}=\frac{1}{a^2c+ac^2+abc}+\frac{1}{b^2c+bc^2+abc}+\frac{1}{c^2a+ca^2+abc}=\frac{1}{ac(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$ vì abc=1 $ac=\frac{1}{b}; ab=\frac{1}{c}; bc=\frac{1}{a}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

Có thể dùng pp sắp thứ tự dc k bạn



#4 PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT

Đã gửi 02-01-2017 - 19:34

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$.  CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$

 

$(x,y,z)\rightarrow (a^{3},b^{3},c^{3})$   $\Rightarrow abc=1$

 

$\frac{1}{x+y+1}=\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{abc}{ab(a+b)+abc}=\frac{c}{a+b+c}$  

      

    Do $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$

 

Tương tự .....

 

P/S: Nếu bí bạn cũng có thể sử dụng Am-Gm ngược dấu, tất nhiên nó sẽ dài hơn! :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 02-01-2017 - 19:36

:huh:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh