Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-01-2017 - 16:51
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-01-2017 - 16:51
Cho x, y, z>0 và xyz=1
CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$
Đặt $x=a^3; y=b^3; z=c^3$ nên abc=1. Bất đẳng thức đã cho tương đương với
$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$
Ta có: $\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}=\frac{1}{(a+b)(a^2-ab+b^2)+1}+\frac{1}{(b+c)(b^2-bc+c^2)+1}+\frac{1}{(c+a)(c^2-ca+a^2)+1}$ $\leq \frac{1}{ac(a+c)+1}+\frac{1}{bc(b+c)+1}+\frac{1}{ca(c+a)+1}=\frac{1}{a^2c+ac^2+abc}+\frac{1}{b^2c+bc^2+abc}+\frac{1}{c^2a+ca^2+abc}=\frac{1}{ac(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$ vì abc=1 $ac=\frac{1}{b}; ab=\frac{1}{c}; bc=\frac{1}{a}$
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
Đặt $x=a^3; y=b^3; z=c^3$ nên abc=1. Bất đẳng thức đã cho tương đương với
$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$
Ta có: $\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}=\frac{1}{(a+b)(a^2-ab+b^2)+1}+\frac{1}{(b+c)(b^2-bc+c^2)+1}+\frac{1}{(c+a)(c^2-ca+a^2)+1}$ $\leq \frac{1}{ac(a+c)+1}+\frac{1}{bc(b+c)+1}+\frac{1}{ca(c+a)+1}=\frac{1}{a^2c+ac^2+abc}+\frac{1}{b^2c+bc^2+abc}+\frac{1}{c^2a+ca^2+abc}=\frac{1}{ac(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$ vì abc=1 $ac=\frac{1}{b}; ab=\frac{1}{c}; bc=\frac{1}{a}$
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
Có thể dùng pp sắp thứ tự dc k bạn
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$
$(x,y,z)\rightarrow (a^{3},b^{3},c^{3})$ $\Rightarrow abc=1$
$\frac{1}{x+y+1}=\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{abc}{ab(a+b)+abc}=\frac{c}{a+b+c}$
Do $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$
Tương tự .....
P/S: Nếu bí bạn cũng có thể sử dụng Am-Gm ngược dấu, tất nhiên nó sẽ dài hơn!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 02-01-2017 - 19:36
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh