Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
misakichan

misakichan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 113 Bài viết

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$.  CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-01-2017 - 16:51


#2
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

Cho x, y, z>0 và xyz=1

CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$

Đặt $x=a^3; y=b^3; z=c^3$ nên abc=1. Bất đẳng thức đã cho tương đương với

$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

Ta có: $\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}=\frac{1}{(a+b)(a^2-ab+b^2)+1}+\frac{1}{(b+c)(b^2-bc+c^2)+1}+\frac{1}{(c+a)(c^2-ca+a^2)+1}$ $\leq \frac{1}{ac(a+c)+1}+\frac{1}{bc(b+c)+1}+\frac{1}{ca(c+a)+1}=\frac{1}{a^2c+ac^2+abc}+\frac{1}{b^2c+bc^2+abc}+\frac{1}{c^2a+ca^2+abc}=\frac{1}{ac(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$ vì abc=1 $ac=\frac{1}{b}; ab=\frac{1}{c}; bc=\frac{1}{a}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1



#3
PhungHieu

PhungHieu

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Đặt $x=a^3; y=b^3; z=c^3$ nên abc=1. Bất đẳng thức đã cho tương đương với

$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

Ta có: $\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}=\frac{1}{(a+b)(a^2-ab+b^2)+1}+\frac{1}{(b+c)(b^2-bc+c^2)+1}+\frac{1}{(c+a)(c^2-ca+a^2)+1}$ $\leq \frac{1}{ac(a+c)+1}+\frac{1}{bc(b+c)+1}+\frac{1}{ca(c+a)+1}=\frac{1}{a^2c+ac^2+abc}+\frac{1}{b^2c+bc^2+abc}+\frac{1}{c^2a+ca^2+abc}=\frac{1}{ac(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$ vì abc=1 $ac=\frac{1}{b}; ab=\frac{1}{c}; bc=\frac{1}{a}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

Có thể dùng pp sắp thứ tự dc k bạn



#4
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$.  CMR: $\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$$\leq 1$

 

$(x,y,z)\rightarrow (a^{3},b^{3},c^{3})$   $\Rightarrow abc=1$

 

$\frac{1}{x+y+1}=\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{abc}{ab(a+b)+abc}=\frac{c}{a+b+c}$  

      

    Do $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$

 

Tương tự .....

 

P/S: Nếu bí bạn cũng có thể sử dụng Am-Gm ngược dấu, tất nhiên nó sẽ dài hơn! :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 02-01-2017 - 19:36

:huh:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh